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与程序竞赛有关的数学知识点

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我是靠谱客的博主 迷你小懒虫，这篇文章主要介绍与程序竞赛有关的数学知识点，现在分享给大家，希望可以做个参考。

转自：https://blog.csdn.net/ctsas/article/details/55000318

内容较多，建议使用目录

容斥原理

集合的并集

设A1,A2...,AnA1,A2...,An是有限集合，则 
|A1⋃A2⋃…⋃An|=∑ni=1|Ai|−∑ni=1∑j>i|Ai⋂Aj|−∑ni=1∑j>i∑k>j|Ai⋂Aj⋂Ak|…+(−1)n|A1⋂A2⋂…⋂An||A1⋃A2⋃…⋃An|=∑i=1n|Ai|−∑i=1n∑j>i|Ai⋂Aj|−∑i=1n∑j>i∑k>j|Ai⋂Aj⋂Ak|…+(−1)n|A1⋂A2⋂…⋂An|

Sylvester公式

给定集合N和具有性质i的集合A1,A2...,AnA1,A2...,An，则 
|A¯¯¯¯1⋂A¯¯¯¯2⋂…⋂A¯¯¯¯n|=|N|−(∑ni=1|Ai|−∑ni=1∑j>i|Ai⋂Aj|…+(−1)n|A1⋂A2⋂…⋂An|)|A¯1⋂A¯2⋂…⋂A¯n|=|N|−(∑i=1n|Ai|−∑i=1n∑j>i|Ai⋂Aj|…+(−1)n|A1⋂A2⋂…⋂An|)

[列题] 区间(S,E]中与n互质的元素个数

设AiAi为n的第i个质因子pipi的倍数的集合且Ai⊆(S,E],i=1,2,3…kAi⊆(S,E],i=1,2,3…k，那么|Ai|=[Epi]−[Spi],|Ai⋂Aj|=[Epipj]−[Spipj]…|Ai|=[Epi]−[Spi],|Ai⋂Aj|=[Epipj]−[Spipj]…，然后套用上面公式即可解决问题了。关键是将这个公式表达出来，有没有发现一共有2n2n项多项式，而且组合数量为奇数时负，组合数量为偶数时符号为正。

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LL POIAE(int n,int S,int E){
    //质因子分解
    int p[32],u=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0){
            p[u++]=i;
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    if(n>1) p[u++]=n;

    LL qua=0;
    for(int i=1;i<1<<u;i++){
        int cnt=0,com=1;
        for(int k=0;k<u;k++)
            if(i>>k&1) cnt++,com*=p[k];
        qua+=cnt&1?E/com-S/com:-E/com+S/com;
    }
    return E-S-qua;
}

 

欧拉函数φ(n)

欧拉函数φ(n) 是小于等于n且与n互素的正整数的个数，假设n=pα11pα22pα33…pαkkn=p1α1p2α2p3α3…pkαk，则有 

φ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)…(1−1pk)φ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)…(1−1pk)

 

证明：

设AiAi为1到n之间pipi的倍数的集合，i=1,2,3,…,k，则 
φ(n)=|A¯¯¯¯1⋂A¯¯¯¯2⋂…⋂A¯¯¯¯k||A¯1⋂A¯2⋂…⋂A¯k| 
=|N|−(∑ki=1|Ai|−∑ki=1∑j>i|Ai⋂Aj|…+(−1)k|A1⋂A2⋂…⋂Ak|)|N|−(∑i=1k|Ai|−∑i=1k∑j>i|Ai⋂Aj|…+(−1)k|A1⋂A2⋂…⋂Ak|) 
=n−(∑ki=1npi−∑ki=1∑j>inpipj+∑ki=1∑j>i∑h>jnpipjph…+(−1)knp1p2p3…pk)n−(∑i=1knpi−∑i=1k∑j>inpipj+∑i=1k∑j>i∑h>jnpipjph…+(−1)knp1p2p3…pk) 
=n(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)…(1−1pk)n(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)…(1−1pk)

性质：

  • 欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质φ(mn)=φ(m)φ(n)φ(mn)=φ(m)φ(n) 。
  • 若n是质数p的k次幂，φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

欧拉函数φ(n) c++实现代码：

我们为了方便根据以上性质将其变形得到

 

φ(n)=(p1−1)pα1−11(p1−1)pα2−12...(pk−1)pαk−1kφ(n)=(p1−1)p1α1−1(p1−1)p2α2−1...(pk−1)pkαk−1

 

如此便可写出φ(n)的o(n−−√)o(n) 的代码了。

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LL Eular(int n){
    LL ans=1;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0){
            ans*=i-1;
            n/=i;
            while(n%i==0) n/=i,ans*=i;
        }
    if(n>1) ans*=n-1;
    return ans;
}

欧拉函数值表筛法

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int e[MAX_N];
void Euler(){
    for(int i=0;i<MAX_N;i++) e[i]=i;
    for(int i=2;i<MAX_N;i++)
        if(e[i]==i)
            for(int k=i;k<MAX_N;k+=i) e[k]=e[k]/i*(i-1);
}

[列1]区间[1,n]与n的最大公约数的和

 

∑i=1ngcd(i,n)=∑d|nd⋅φ(n/d)∑i=1ngcd(i,n)=∑d|nd⋅φ(n/d)

 

[列2]

UVA11426 求 ∑ni=1∑nj=i+1gcd(i,j)∑i=1n∑j=i+1ngcd(i,j)

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int phi[MAX_N];LL res[MAX_N];
void solve(){//筛法的魅力
    for(int i=1;i<MAX_N;i++) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<MAX_N;i++)
        if(phi[i]==i)
            for(int j=i;j<MAX_N;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
        for(int k=i;k<MAX_N;k+=i)
            res[k]+=1LL*i*phi[k/i];
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
        res[i]+=res[i-1]-i;
}

[列3]

[1,n]与n互素的和 

∑gcd(i,n)=1i<ni=n⋅φ(n)/2∑gcd(i,n)=1i<ni=n⋅φ(n)/2

 

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数μ(n)μ(n)，在狄利克雷卷积的乘法中与恒等函数互为逆元，μ(1)=1μ(1)=1，对于无平方因子数n=∏ti=1pin=∏i=1tpi有μ(n)=(−1)tμ(n)=(−1)t，对于有平方因子数nn有μ(n)=0μ(n)=0。

o(n−−√)o(n) 的板子

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int mu(int n) {
    int cnt = 0;
    for(int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if(n%i == 0) {
            n /= i;++cnt;
            if(n%i == 0) return 0;
        }
    }
    if(n > 1) ++cnt;
    return cnt&1?-1:1;
}

同余

两个整数 a，b，若它们除以正整数 m所得的余数相等，则称 a，b对于模 m同余，记作a≡b(modm)a≡b(modm)

其性质这里不赘述了，可以参看 维基

费马小定理

费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么 ap−aap−a是p的倍数，可以表示为 

ap≡a(modp)ap≡a(modp)


如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成 

ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)


[列题]计算21002100除以13的余数 
2100≡212×8+4(mod13)≡(212)8⋅24(mod13)≡18⋅16(mod13)≡16(mod13)≡3(mod13)2100≡212×8+4(mod13)≡(212)8⋅24(mod13)≡18⋅16(mod13)≡16(mod13)≡3(mod13) 
则答案为3

 

欧拉定理

若gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1,则

aφ(n)≡1(mod n)aφ(n)≡1(mod n)

 

扩展欧几里得算法

给予二整数a、b，必存在有整数x、y使得ax + by = gcd(a,b) 
对于这个问题，扩展欧几里得算法能够快速解出使上式成立(x,y)，复杂度o(log(n))

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int exGcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=exGcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}

通过上面代码可以得到一组特解，记为(x0,y0)(x0,y0)，那么通解可以表示为

 

⎧⎩⎨x=x0−b⋅ky=y0+a⋅kk∈Z{x=x0−b⋅ky=y0+a⋅kk∈Z

 

例题 POJ1061

模逆元

若a⋅b≡1(mod m)a⋅b≡1(mod m)，称a和b对于模数m来说互为逆元

定理：a存在模m的乘法逆元的充要条件是gcd(a,m) = 1

证明：

  1. 充分性：由欧拉定理知aφ(m)≡1(mod m)aφ(m)≡1(mod m)，那么必有b=aφ(m)−1b=aφ(m)−1 使a⋅b≡1(mod m)a⋅b≡1(mod m)
  2. 必要性：既然a⋅b≡1(mod m)a⋅b≡1(mod m)，即有a⋅b−m⋅k=1=k′⋅gcd(a,m),k∈Z,k′∈Za⋅b−m⋅k=1=k′⋅gcd(a,m),k∈Z,k′∈Z成立，即有gcd(a,m)=1gcd(a,m)=1

[例] 已知 a, m, 求b

将定义式改写成

a⋅b−1=m⋅k,k∈Z⇒a⋅b−m⋅k=1,k∈Za⋅b−1=m⋅k,k∈Z⇒a⋅b−m⋅k=1,k∈Z 
利用扩展欧几里得算法不难求得一组解(b′,k′)(b′,k′) 使得

a⋅b′+m⋅k′=gcd(a,m)a⋅b′+m⋅k′=gcd(a,m)

结合定理得 
若gcd(a,m)≠1gcd(a,m)≠1，那么b无解 
若gcd(a,m)=1gcd(a,m)=1，那么b=b′gcd(a,m)=b′b=b′gcd(a,m)=b′

代码

那么也能写出代码了，若无答案返回-1，若有返回最小的正解

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int mod_inverse(int a,int m){
    int x,y;
    if(exGcd(a,m,x,y)==1) return (m+x%m)%m;
    return -1
}
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o(n)得出[1,n]的(mod p)逆元

该算法要求所mod p为素数且n< p，记 aa 的逆元表示为 a−1a−1 
设k=p%ik=p%i，假设以求得k−1(modp)k−1(modp)，则

i⋅i−1≡k⋅k−1≡1(modp)i⋅i−1≡k⋅k−1≡1(modp) 
⇒i⋅i−1≡(p%i)⋅(p%i)−1(modp)⇒i⋅i−1≡(p%i)⋅(p%i)−1(modp) 
⇒i⋅i−1≡(p−[p/i]⋅i)⋅(p%i)−1(modp)⇒i⋅i−1≡(p−[p/i]⋅i)⋅(p%i)−1(modp) 
⇒i⋅i−1≡((i−1)⋅p+p−[p/i]⋅i)⋅(p%i)−1(modp)⇒i⋅i−1≡((i−1)⋅p+p−[p/i]⋅i)⋅(p%i)−1(modp) 
⇒i⋅i−1≡i⋅(p−[p/i])⋅(p%i)−1(modp)⇒i⋅i−1≡i⋅(p−[p/i])⋅(p%i)−1(modp) 
由于p为素数，则gcd(i,p)=1gcd(i,p)=1，则 
i−1≡(p−[p/i])⋅(p%i)−1(modp)i−1≡(p−[p/i])⋅(p%i)−1(modp)

取[0,p)中的解 
i−1=(p−[p/i])⋅(p%i)−1%pi−1=(p−[p/i])⋅(p%i)−1%p

代码为

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int inv[MAXN];
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i<MAXN; i++)
    inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
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孙子定理（中国剩余定理）

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组： 

(S):⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡an(modmn)(S):{x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡an(modmn)


有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

 

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2,...,mnm1,m2,...,mn其中任两数互质，则对任意的整数：a1,...,ana1,...,an，方程组(S)(S)有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

  1. 设 M=m1×m2×⋯×mn=∏i=1nmiM=m1×m2×⋯×mn=∏i=1nmi是整数m1,m2,...,mnm1,m2,...,mn的乘积，并设Mi=M/mi,∀i∈{1,2,⋯,n}Mi=M/mi,∀i∈{1,2,⋯,n}，即MiMi是除了mimi以外的n − 1个整数的乘积。
  2. 设ti=M−1iti=Mi−1模mimi的逆元： tiMi≡1(modmi),∀i∈{1,2,⋯,n}tiMi≡1(modmi),∀i∈{1,2,⋯,n}。
  3. 方程组(S)(S)的通解形式为：x=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnMn+kM=kM+∑ni=1aitiMi,k∈Z.x=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnMn+kM=kM+∑i=1naitiMi,k∈Z.在模 MM的意义下，方程组 (S)(S)只有一个解： 

    x=∑i=1naitiMi.x=∑i=1naitiMi.

证明

对于 ∀j∈{1,2,⋯,n},j≠i,gcd(mi,mj)=1∀j∈{1,2,⋯,n},j≠i,gcd⁡(mi,mj)=1

考察乘积aitiMiaitiMi可知：

aitiMi≡ai⋅1≡ai(modmi),aitiMi≡ai⋅1≡ai(modmi), 
∀j∈{1,2,⋯,n},j≠i,aitiMi≡0(modmj).∀j∈{1,2,⋯,n},j≠i,aitiMi≡0(modmj).

所以 x=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnMnx=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnMn 满足：

∀i∈{1,2,⋯,n},x=aitiMi+∑j≠iajtjMj≡ai+∑j≠i0≡ai(modmi).∀i∈{1,2,⋯,n},x=aitiMi+∑j≠iajtjMj≡ai+∑j≠i0≡ai(modmi).

到此以得证(S)(S)的一个解x=∑ni=1aitiMi.x=∑i=1naitiMi.

通解

假设 x1x1和x2x2都是方程组 (S)(S)的解，那么：

∀i∈{1,2,⋯,n},x1−x2≡0(modmi).∀i∈{1,2,⋯,n},x1−x2≡0(modmi).，即 ∀mi|x1−x2∀mi|x1−x2

即 ∏ni=1mi|x1−x2∏i=1nmi|x1−x2，即 M|x1−x2M|x1−x2

到此说明方程组 (S)(S) 的任何两个解之间必然相差MM的整数倍，则通解可表示为 

{kM+∑i=1naitiMi;k∈Z}.{kM+∑i=1naitiMi;k∈Z}.

 

代码

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LL CRT(int *m,int *a,int n){
    LL M=1,ans=0,x,t_i;
    for (int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
    for (int i=1;i<=n;i++){
        LL M_i=M/m[i];
        exGcd(m[i],M_i,x,t_i);     //求 M_i 模 m[i] 的逆元 t_i
        ans=(ans+a[i]*t_i*M_i)%M;
    }
    return ans;
}

矩阵

数学上，一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

矩阵乘法

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A为 m×nm×n矩阵，B为n×pn×p矩阵，则他们的乘积AB(有时记做A · B）会是一个 m×pm×p矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出： 

(AB)ij=∑r=1nairbrj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj.(AB)ij=∑r=1nairbrj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj.

 

矩阵快速幂

类比快速幂不难的到矩阵快速幂，若有矩阵a，则求 anan 代码如下

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int N;
struct matrix{LL m[MAX_N][MAX_N];};
matrix multi(matrix a,matrix b){
    matrix tmp;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=N;j++){
            tmp.m[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=N;k++)
                tmp.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
            tmp.m[i][j]%=MOD;
        }
    return tmp;
}
matrix fast_mod(matrix a,int n){
    matrix res;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=N;j++)
            res.m[i][j]=(i==j);
    while(n){
        if(n&1) res=multi(res,a);
        a=multi(a,a);
        n>>=1;
    }
    return res;
}

线性递推关系与矩阵乘法

设数列 {hn}{hn} 满足 kk 阶常系数线性递推关系： 

hn=C1hn−1+C2hn−2+C3hn−3+⋅⋅⋅+Ckhn−k+bnhn=C1hn−1+C2hn−2+C3hn−3+···+Ckhn−k+bn


bnbn 可以为常数，也可以是关于n的函数

 

若 bnbn 为常数，则构造转移矩阵 

M=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜C1100⋮00C2010⋮00C3001⋮00⋯⋯⋯⋯⋱⋯⋯Ck−1000⋮10Ck000⋮00bn00001⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟(k+1)×(k+1)M=(C1C2C3⋯Ck−1Ckbn100⋯000010⋯000001⋯000⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯100000⋯001)(k+1)×(k+1)


与初始向量 

X=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜hk−1hk−2hk−3⋮h2h1h01⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟(k+1)×1X=(hk−1hk−2hk−3⋮h2h1h01)(k+1)×1


易见 

Y=MX=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜C1100⋮00C2010⋮00C3001⋮00⋯⋯⋯⋯⋱⋯⋯Ck−1000⋮10Ck000⋮00bn00001⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜hk−1hk−2hk−3⋮h2h1h01⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜hkhk−1hk−2⋮h3h2h11⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟Y=MX=(C1C2C3⋯Ck−1Ckbn100⋯000010⋯000001⋯000⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯100000⋯001)(hk−1hk−2hk−3⋮h2h1h01)=(hkhk−1hk−2⋮h3h2h11)


事实上我们可以发现，对于任意的 k 阶常系数线性递推关系，我们总可以构造一个 k×k 或 (k+1)×(k+1) 的转移矩阵 M, 对于初始值向量 

X=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜hk−1hk−2hk−3⋮h2h1h0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟k×1或⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜hk−1hk−2hk−3⋮h1h0bn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟(k+1)×1X=(hk−1hk−2hk−3⋮h2h1h0)k×1或(hk−1hk−2hk−3⋮h1h0bn)(k+1)×1


使得 Y=Mn−k+1X，YY=Mn−k+1X，Y第一行第一列的元素恰好为 hnhn。

 

利用矩阵乘法计算递推数列的某一项代码

使用上面的两个知识点就不难敲出代码了

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#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX_N 10
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long LL;
int N;LL b_n=0,C[MAX_N],h[MAX_N];
struct matrix{LL m[MAX_N][MAX_N];};
matrix multi(matrix a,matrix b){
    matrix tmp;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=N;j++){
            tmp.m[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=N;k++)
                tmp.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
            tmp.m[i][j]%=MOD;
        }
    return tmp;
}
matrix fast_mod(matrix a,int n){
    matrix res;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=N;j++)
            res.m[i][j]=(i==j);
    while(n){
        if(n&1) res=multi(res,a);
        a=multi(a,a);
        n>>=1;
    }
    return res;
}
void init(matrix &res,matrix &H){
    for(int i=1;i<=N;i++) res.m[1][i]=C[i];
    res.m[1][N]=b_n;
    for(int i=2;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=N;j++)
            res.m[i][j]=(i==j+1);
    res.m[N][N-1]=0;res.m[N][N]=1;

    for(int i=1;i<=N;i++){
        H.m[i][1]=h[N-i];
        for(int j=2;j<=N;j++) H.m[i][j]=0;
    }
    H.m[N][1]=1;
}
void slove(int k,int n){
    matrix res,H;
    init(res,H);

    res=fast_mod(res,n-k+1);
    res=multi(res,H);
    LL ans=res.m[1][1];

    printf("%lldn",ans);
}

int main()
{
    int k,n;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%lld",&C[i]);
        for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%lld",&h[i]);
        N=k+1;
        slove(k,n);
    }
    return 0;
}

例题 51NOD 1126

《挑战》上的矩阵快速幂模板

以斐波那契数列第n项为例

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#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef vector<LL> vec;
typedef vector<vec> mat;
const LL MOD = 1000000009;

mat mul(mat &A,mat &B){
    mat C(A.size(),vec(B[0].size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i){
        for(int k=0;k<B.size();++k){
            for(int j=0;j<B[0].size();++j)
                C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%MOD;
        }
    }
    return C;
}

mat pow(mat A,LL n){
    mat B(A.size(),vec(A.size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i) B[i][i]=1;
    while(n){
        if(n&1) B=mul(B,A);
        A=mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return B;
}

int main()
{
    mat A(2,vec(2));
    A[0][0]=A[0][1]=A[1][0]=1;
    A[1][1]=0;
    LL n;
    scanf("%lld",&n);
    A=pow(A,n);
    printf("%lldn",A[1][0]);
    return 0;
}

其他

约数个数

仍何一个整数n都可以表示成n=pa11pa22...pakkn=p1a1p2a2...pkak，那么,n的约数个数 

∑d|n1=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)∑d|n1=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)


例题 LOJ1341

 

a的k次幂前n位数

用该方法要注意精度

 

ak=10lgak=10k⋅lga=10[k⋅lga]+{k⋅lga}前n位：[10n−1⋅10{k⋅lga}]ak=10lg⁡ak=10k⋅lg⁡a=10[k⋅lg⁡a]+{k⋅lg⁡a}前n位：[10n−1⋅10{k⋅lg⁡a}]

 

例题 LOJ1282

定积分

Simpson`s 3/8 rule

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const double eps=1e-8;
inline double f(double x){
    return x*x;//被积函数
}
inline double getAppr(double a,double b){//Simpson`s 3/8 rule
    return (b-a)*(f(a)+3*f((2*a+b)/3)+3*f((a+2*b)/3)+f(b))/8.0;
}
double simpson(double l,double r){//积分区间[l,r]
    double sum=getAppr(l,r);
    double mid=(l+r)/2;
    double suml=getAppr(l,mid);
    double sumr=getAppr(mid,r);
    return fabs(sum-suml-sumr)<eps?sum:simpson(l,mid)+simpson(mid,r);
}

例题 地狱飞龙

线性筛法筛素数、莫比乌斯函数、欧拉函数

线性筛法（欧拉筛法）可以在 O(n) 的时间内获得 [1,n] 的所有素数。算法保证每个合数都会被它的最小质因子筛掉，所以复杂度是线性的。同时，我们可以利用这一特性，结合积性函数的性质，在 O(n)的时间内筛出一些积性函数的值。

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bool isNotPrime[MAXN + 1];
int mu[MAXN + 1], phi[MAXN + 1], primes[MAXN + 1], cnt;
inline void euler()
{
    isNotPrime[0] = isNotPrime[1] = true;
    mu[1] = 1;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
        if (!isNotPrime[i]) {
            primes[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
            int t = i * primes[j];
            if (t > MAXN) break;
            isNotPrime[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                mu[t] = 0;
                phi[t] = phi[i] * primes[j];
                break;
            } else {
                mu[t] = -mu[i];
                phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1);
            }
        }
    }
}

 

本文章不定期更新

如有谬误，恳请指正

最后

以上就是迷你小懒虫最近收集整理的关于与程序竞赛有关的数学知识点的全部内容，更多相关与程序竞赛有关内容请搜索靠谱客的其他文章。

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