自动控制原理6.3---串联校正

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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3.串联校正

3.1 频率响应法校正设计

• 在线性控制系统中，常用的校正装置设计方法：分析法和综合法；
  • 分析法(试探法)：用分析法设计校正装置直观，在物理上容易实现，但要求设计者有一定的工程设计经验，设计过程带有试探性；
  • 综合法(期望特性法)：从闭环系统性能与开环系统特性密切相关出发，根据规定的性能指标要求确定系统期望的开环特性形状，然后与系统原有的开环特性比较，确定校正方式、校正装置的形式和参数；
• 分析法或综合法，其设计过程一般仅适用于最小相位系统；
• 开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能；开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能；开环频率特性的高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制性能；
• 用频域法设计控制系统的实质：在系统中加入频率特性形状合适的校正装置，使开环系统频率特性形状变成期望的形状：低频段增益充分大，以保证稳态误差要求；中频段对数幅频特性一般为-20dB/dec，并占据充分宽的频带，以保证具备适当的相角裕度；高频段增益尽快减小，以削弱噪声影响，若系统原有部分高频段已符合要求，则校正时可保持高频段形状不变，以简化校正装置的形式；

3.2 串联超前校正

利用超前网络或PD控制器进行串联校正的基本原理：是利用超前网络或PD控制器的相角超前特性；

用频域法设计无源超前网络的步骤：

1. 根据稳态误差要求，确定开环增益$K$；

2. 利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；

3. 根据截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$的要求，计算超前网络参数$a、T$；此步骤中，选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即${\omega }_m={\omega }_c^{\prime \prime }$，以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性；${\omega }_m={\omega }_c^{\prime \prime }$成立的条件为：
   $$-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=L_c({\omega }_m)=10\lg a\text{\hspace{1em}(1)}$$
   可确定$a$值，根据：
   $$T=\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}\text{\hspace{1em}(2)}$$
   确定$T$值；

4. 验算已校正系统的相角裕度${\gamma }^{\prime \prime }$；计算${\phi }_m$值，由已知的${\omega }_c^{\prime \prime }$算出待校正系统在${\omega }_c^{\prime \prime }$时的相角裕度$\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })$，由${\gamma }^{\prime \prime }={\phi }_m+\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })$算出${\gamma }^{\prime \prime }$，当${\gamma }^{\prime \prime }$不满足要求时，重新选${\omega }_m$；

实例分析：

Example1： 设控制系统如下图所示，若要求系统在单位斜坡输入信号作用时，位置输出稳态误差$e_{ss}(\infty )\le 0.1rad$，开环系统截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }\ge 4.4rad/s$，相角裕度${\gamma }^{\prime \prime }\ge 45°$，幅值裕度$h^{\prime \prime }\ge 10dB$，试设计串联无源超前网络。

解：

因为
$$e_{ss}(\infty )=\frac{1}{K}\le 0.1$$
取$K=10ra{d}^{-1}$，则待校正系统传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{10}{s(s+1)}$$
可得其对数幅频渐近特性曲线，或由${\omega }_c^{\prime }$计算公式可算得待校正系统的${\omega }_c^{\prime }=3.1rad/s$，算出待校正系统的相角裕度：
$$\gamma =180°-90°-\arctan {\omega }_c^{\prime \prime }=17.9°$$
二阶系统幅值裕度为$+\infty$dB，相角裕度小的原因，因为待校正系统的对数幅频渐近特性中频区的斜率为-40dB/dec，由于截止频率和相角裕度均低于指标要求，因此采用串联超前校正是合适的；

计算超前网络参数，试选${\omega }_m={\omega }_c^{\prime \prime }=4.4rad/s$，由渐近特性图或计算公式可得$L({\omega }_c^{\prime \prime })=-6dB$，可得：$a=4,T=0.114s$，超前网络传递函数为：
$$4G_c(s)=\frac{1+0.456s}{1+0.114s}$$
为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需要提高4倍，否则不能保证稳态误差要求；

超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为：
$$a{G}_c(s)G_0(s)=\frac{10(1+0.456s)}{s(1+0.114s)(1+s)}$$
可得渐近幅频特性曲线，已校正系统${\omega }_c^{\prime \prime }=4.4rad/s$，可得待校正系统的$\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })=12.8°$，由计算公式可得${\phi }_m=36.9°$，因此已校正系统的相角裕度为：
$${\gamma }^{\prime \prime }={\phi }_m+\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })=49.7°＞45°$$
已校正系统的幅值裕度仍为$+\infty$dB，因此，全部性能指标均满足要求；

在有些情况下采用串联超前校正是无效的：

• 闭环带宽要求。若待校正系统不稳定，为了得到规定的相角裕度，需要超前网络提供很大的相角超前量，这样，超前网络的$a$值必须选得很大，从而造成已校正系统带宽过大，使得通过系统的高频噪声电平很高，很可能使系统失控；
• 在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正，因为随着截止频率的增大，待校正系统相角迅速减小，使已校正系统的相角裕度改善不大，很难得到足够的相角超前量；在一般情况下，产生这种相角迅速减小的原因是，在待校正系统截止频率附近，或有两个交接频率彼此靠近的惯性环节，或有两个交接频率彼此相等的惯性环节，或有一个振荡环节；

3.3 串联滞后校正

利用滞后网络或PI控制器进行串联校正的基本原理：利用滞后网络或PI控制器的高频幅值衰减特性，使已校正系统截止频率下降，从而使系统获得足够的相角裕度；

滞后网络的最大滞后角应力求避免发生在系统截止频率附近，在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可考虑采用串联滞后校正；

如果待校正系统已具备满意的动态性能，仅稳态性能不能满足指标要求，也可以采用串联滞后校正以提高系统的稳态精度，同时保持其动态性能仍然满足性能指标要求；

如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统，应用频域法设计串联无源滞后网络的步骤：

1. 根据稳态误差要求，确定开环增益$K$；

2. 利用已确定的开环增益，画出待校正系统的开环对数频率特性，确定待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }$、相角裕度$\gamma$和幅值裕度$h(dB)$；

3. 选择不同的${\omega }_c^{\prime \prime }$，计算或查出不同的$\gamma$值，在开环伯德图上绘制$\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })$曲线；

4. 根据相角裕度${\gamma }^{\prime \prime }$要求，选择已校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$，考虑到滞后网络在新的截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$处会产生一定的相角滞后${\phi }_c({\omega }_c^{\prime \prime })$，因此有式子成立：${\gamma }^{\prime \prime }=\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })+{\phi }_c({\omega }_c^{\prime \prime })$；其中：${\gamma }^{\prime \prime }$是指标要求值，${\phi }_c({\omega }_c^{\prime \prime })$在确定${\omega }_c^{\prime \prime }$前取-6°；

5. 根据关系式确定滞后网络参数$b、T$；
   $$20\lg b+L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=0，\frac{1}{bT}=0.1{\omega }_c^{\prime \prime }\text{\hspace{1em}(3)}$$

6. 验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度；

3.4 串联超前网络和串联滞后网络比较

1. 超前校正是利用超前网络的相角超前特性，滞后校正是利用滞后网络的高频幅值衰减特性；
2. 为了满足严格的稳态性能要求，当采用无源校正网络时，超前校正要求一定的附加增益，而滞后校正一般不需要附加增益；
3. 对于同一系统，采用超前校正的系统带宽大于采用滞后校正的系统带宽；从提高系统响应速度的观点看，希望系统带宽越大越好，与此同时，带宽越大则系统越容易受噪声干扰的影响，因此如果系统输入端噪声电平较高，一般不宜选用超前校正；

3.5 串联滞后-超前校正

采用串联滞后-超前校正，已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能较好；当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，以采用串联滞后-超前校正为宜；

基本原理：利用滞后-超前网络的超前部分来增大系统的相角裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能；

串联滞后-超前校正设计步骤：

1. 根据稳态性能要求确定开环增益$K$；

2. 绘制待校正系统的开环对数幅频渐近特性，求出待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }$、相角裕度$\gamma$和幅值裕度$h(dB)$；

3. 在待校正系统开环对数幅频渐近特性上，选择斜率从$-20$dB/dec变为-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率${\omega }_b$；

4. 根据响应速度要求，选择系统的截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$和校正网络衰减因子$1/\alpha$；要保证已校正系统的截止频率为所选的${\omega }_c^{\prime \prime }$，有：
   $$-20\lg \alpha +L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })+20\lg T_b{\omega }_c^{\prime \prime }=0\text{\hspace{1em}(4)}$$
   其中：$T_b=1/{\omega }_b；L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })+20\lg T_b{\omega }_c^{\prime \prime }$可由待校正系统开环对数幅频渐近特性的-20dB/dec延长线在${\omega }_c^{\prime \prime }$处的数值确定；

5. 根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的交接频率${\omega }_a$；

6. 校验已校正系统的各项性能指标；

最后

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