基于重力补偿的 PD 控制

PD 控制是常规的控制方法，设计简单，用李雅普诺夫方法证明简单，不需要系统的模型，是无模型控制中的基本方法。

令 $begin{bmatrix} tilde q^T dot q^T end{bmatrix}$ 为系统的状态向量，
其中： $tilde q = q_d - q$

表示期望位姿和实际位姿之间的误差。选择一下正定二次型作为李雅普诺夫函数：

$$V( dot q, tilde q)=frac{1}{2} dot q^T B(q) dot q + frac{1}{2} tilde q^T K_p tilde q > 0, forall dot q, tilde q neq 0$$

其中，$Kp$为$n*n$的正定矩阵。（第一项表示系统的动能，第二项表示系统的势能）

对时间求导：

$$dot V = ddot q^T B(q) ddot q + frac{1}{2} dot q^T dot B(q) dot q - dot q^t K_p tilde q$$

根据动力学公式：

$$B(q) ddot q +C(q,dot q) dot q + Fdot q + g(q)=tau$$
得：

$$dot V = dot q^T (dot B(q) - 2C(q,dot q) dot q) dot q - dot q^T F dot q - dot q^t ( tau - g(q) -K_p tilde q ) = - dot q^T F dot q - dot q^t ( tau - g(q) -K_p tilde q )$$

第一项负定，$tau = g(q) + K_p tilde q - K_d dot q$ 时，

$$dot V = - dot q^T ( F + K_d ) dot q$$
只要 $F + K_d$ 正定，即可得：

$$dot V < 0 ,forall q neq 0$$

根据李雅普诺夫方法，可得系统是稳定的。

基于重力补偿的$PD$控制的控制框图如下：

最后

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