陶哲轩实分析：三大序列分析和归纳

本文是我对陶哲轩6.4节的抽象或归纳。本文指出，上下极限、极限、极限点的定义的根源是数学家们为了描述三种不同序列的特征而引入的定义。关于上下极限、极限、极限点的相关定理都完全由这三种不同序列的定义直接并显然的导出。

本文编写于2019.7.12，14日精读掌握《陶哲轩实分析》,day5

首先我们给出关于极限点、上下极限、极限的直观定义

• 极限和极限点概念区别
  • 数A e-附着于序列：序列存在一个元素和数A 的距离小于e
    • 数A e接近于序列：序列的每个元素和数A的距离小于e
  • 数A持续e-附着于序列：序列的末尾 总有一个元素和数A的距离小于e
    • 数A 最终接近于序列：序列末尾的每个元素都和数A的距离小于e
  • 序列有极限点L：序列的末尾总有一个元素和数L无限接近
    • 序列有极限L：序列的末尾 的每个元素都无限接近L
  • 序列所有的极限L都是极限点L
• 上极限和下极限
  • 上极限的下极限就是序列的末尾的上确界和下确界

上面三种定义事实上是为了描述以下三种不同特征的序列而引入的定义

• 【HJ-三大序列】上下极限、极限、极限点定义所对应的特殊序列
  • 柯西序列（大禹永远躺在床上序列）：【最终稳定不动的振子-极限】当振子的位移最终会趋向于一个定值（即振子不再振动），使用柯西序列、极限、e最终接近性去描述这种振子的性质就足够了
  • 大禹每次回家乡比回家看看序列：【振子的运动不稳定，但是永远不会忘记触碰一个它心爱的点-极限点】，这就需要引入极限点的概念
    • 第一种情况是第二种情况的特例----------------极限显然是一个极限点
  • 大禹永远出不了家门序列：【当振子的位移最终有一个上界（隔板挡着它）-上极限】，振子最终的运动无法超过隔板（就这么一个限制），就需要使用上极限去描述这种情况。
    • （振子永远都不会忘记时不时的去碰一下那个挡着它的隔板，因此第二种情况是第三种情况的特例）--------- 上极限是序列的最大极限点（习题6.4.8）

6.4节的本质在于描述hj-三大序列的各自的特征，本节的所有性质定理都是基于Hj-三大序列的定义而来的简单推论。

最后

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