3.数电复刻 之 逻辑运算公式 +定理 +表达式

公式

1.分配率：

A(B+C) = AB + AC
A+BC = (A+B)(A+C)

2.吸收率

A + AB = A
A(A + B) = A
A + A'B = A + B

3.AB + A'C + BC = AB + A'C

解释：当在两项中分别出现变量 X和 X’时，其他的项都可以消去

证明：
 AB + A'C +BC 
 = AB + A'C + BC(A + A')
 = AB + A'C + ABC + A'BC
 = AB + A'C 

手段：
1.A * 1 = A
2.A + 0 = A
我们一般使用如此的手段去对一个式子处理
（本题中因为前两项有 A 和 A’ 的存在，所以我们选择再给第三项乘(A + A’)）

AB + A’C 是一个选择器，A = 1时，选择B ，否则选择C

4.A(AB)' = AB'
A'(AB)' = A'

证明:
A(AB)' = A(A' + B') = AB'
A'(AB)' = A'(A' + B') =A' +A'B = A'

定理

1.代入定理

没什么好说的，就是以一个变量去代替另外一个或者 一组变量，等式不变
关键是：可以用过一个变量代替多个变量的组合

eg.证明摩根公式对多个变量也是成立的

对于(A +B+C)'，令D = B+C
所以 原式等于 = (A+D)' = A' + D'
又 D' = (B+C)' = B'+C'
所以得到：(A+B+C)' = A'+B'+C' 

2.反演定理

1.'与' 和 '或'  互换
2. 0 和 1 互换
3. 变量取反
这样得到的式子等号任然成立

关键：

1.必须保证按照原式的顺序（与的优先级 大于 或的优先级-----人为规定）、
2.变量取反只针对单变量（对于一组变量的组合取反这种情况不需要取反）

注意：

对于上面说的变量取反只针对单变量，现在考虑有两种处理办法

1.按照规则，对于一组变量整体取反的情况，不取反，对里面的变量组合，按照规则继续处理

2.运用代入定理，把一组变量的组合看成一个变量，这样就可以把取反符号去掉，同时里面的变量组合保持

eg

1.Y = A(B+C)+C'D      ==>  Y' = (A'+ B'C')(C+D') 

2.Y = [(A'B)' +C +D]' +C    ⇒     采用上面说的对变量集合的取反的两种处理办法
           a. Y' =  [(AB')' C' D']' C' = (A'+B+C'+D')'C' = C'(A+B'+C'+D')按规矩不去掉整体的非，
           																   	对里面单个处理
           b. Y' = [(A'B)' +C+D]C'  = (A+B' +C+D)C'    里面整个看做一个变量，去掉外面的非，
           												里面不变
3. F = [A +B +(C+D)']' (X'+Y')   ⇒  在练习一下上面的这两种方法
		   a.F' = [A'B' (C'D')' ]' +(XY) = (A'B'(C+D))'+(XY) = A +B+C'D'+XY
		   b.F' = (A+B+(C+D)')+XY = A+B+C'+D'+XY

3.对偶定理

1.'与' 和 '或'  互换
2. 0 和 1 互换
3. 变量不变
得到的对偶式，如果两个式子的对偶式相同，则他们也相等

eg

Y  = A+ BC  ⇒  YD = A(B +C)
Y = (A+B)(A+C)  ==>   YD = AB+AC =A(B+C)

所以上述两式相等

逻辑函数表达式

1.真值表：把每个变量对应的0 1 都列出来，并计算出对应值
2.逻辑函数式：用符号表示运算，写出表达式

3.逻辑图：把运算用符号代表，画出图
4.波形图：与真值表一样，每一列代表真值表的一行，用波形表示01值

表达形式之间的转化：

1.真值表   ==>  函数式

a.考虑所有能让结果为 1 的情况，用'或' 连接
b.考虑每一种让结果为 1 的情况 ，用'与' 连接每一个变量

最小项：所有的变量都出现，并且它和它的反只出现一次

最后

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