汉明码详解

1.首先确定汉明码的位数

公式：$2^k\ge n+k+1$
字母含义：$k$表示检验位数，$n$表示传送的信息位数
简单解释一下这个公式怎么来的，因为我们要检验传送的信息中到底是哪一位出错了，所以首先会有传送的信息位数$n$，然后我们的校验位数$k$也插入到传送的信息当中去了，所以总位数变成$n+k$，最后还要留出一个正确状态位，所以最后加$1$，而校验码所能检错的总位数为$2^k$，当$2^k\ge n+k+1$时，才能把所有位置标注出来。
下面有个表格

简单记一下这个表，一般k=3，4，5用的比较多。

如何标注

在唐朔飞版的教材中用的是$C_i$表示校验位，$b_i$表示信息位。
标注方法：校验位应该位于$2^{k-1}$序号处,信息位按顺序依次填入
举个例子：欲传送的信息为1010
首先根据$2^k\ge n+k+1$求出校验位$k=3$
我比较喜欢顺着来就设$b_1{b}_2{b}_3{b}_4=1010$，$C_1{C}_2{C}_4$分别表示三个校验码。

根据此表，以$C_4$为例，$C_4$应填到第$2^{k-1}=2^{3-1}=4$位处，其他两个也是如此，然后将$b_i$依次填入(k表示$C_i$是第几个校验位)。

2、求出校验位的值

$H_3=3=011$
$H_5=5=101$
$H_6=6=110$
$H_7=7=111$
这里的等于说的是$H_3$为第三位，只不过使用二进制表示
其中$H_3=b_1$ ，$H_5=b2$ ，$H_6=b3$ ，$H_7=b_4$
$\begin{array}{c}{H}_3=\\ H_5=\\ H_6=\\ H_7=\end{array}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
最后一列表示$C_1=H_3⨁H_5⨁H_7=b_1⨁b_2⨁b_4$(注意这里$C_i$的位置正好和列的位置相反)
其中$⨁$表示异或。
取值规则为:
$C_1$取用二进制表示的位置最后一列为一所对应的信息位。
$C_2$取用二进制表示的位置倒数第二列为一所对应的信息位。
$C_4$取用二进制表示的位置倒数第三列为一所对应的信息位。
依次类推。
还有一种就是按照定义方式，先分小组。
有三个要求：
(1)$g_i$小组独占第$2^{i-1}$位(i=1,2,3,…)
(2)$g_i,g_j$共同占有第$2^{i-1}+2^{j-1}$位(i,j=1,2,3,…)
(3)$g_i,g_j,g_l$共同占有第$2^{i-1}+2^{j-1}+2^{l-1}$位(i,j,l=1,2,3,…)，是其他小组没有的

如何理解这几个要求呢，以$C_2$为例说明一下。
$C_2,i=2$,根据(1)知，包含$2^{2-1}=2$；根据(2)知，包含$2^{2-1}+2^{j-1},(j=1,2,3,..)所以可以的到3,6,10,...(i̸=j)$；根据(3)知，包含$2^{2-1}+2^{j-1}+2^{l-1},(j,l=1,2,3,..)$,所以有7，11，14，…。我感觉这种方法不如上面那种方法好用。

继续求$C_i$：
$C_1=H_3⨁H_5⨁H_7=b_1⨁b_2⨁b_4=1⨁0⨁0=1$
$C_2=H_3⨁H_6⨁H_7=b_1⨁b_3⨁b_4=1⨁1⨁0=0$
$C_4=H_5⨁H_6⨁H_7=b_2⨁b_3⨁b_4=0⨁1⨁0=1$
如果不懂异或直接数一的个数，奇数个就等于1，偶数个等于0。

3、纠错过程

$P_1=H_1⨁H_3⨁H_5⨁H_7=C_1⨁b_1⨁b_2⨁b_4=1⨁1⨁0⨁0=0$
$P_2=H_2⨁H_3⨁H_6⨁H_7=C_2⨁b_1⨁b_3⨁b_4=0⨁1⨁1⨁0=0$
$P_4=H_4⨁H_5⨁H_6⨁H_7=C_4⨁b_2⨁b_3⨁b_4=1⨁0⨁1⨁0=0$
$P_i$的取值规则，通过上面的事例应该能看出来，是$P_i$对应的$C_i$，再加上$C_i$对应的$b_i$。
$P_4{P}_2{P}_1=000$，表示没有错。
错误实例：传递信息还是1010，加上检错码为1011010，但是在传输过程中，出现一位错误，变成1011011,。
$P_1=H_1⨁H_3⨁H_5⨁H_7=1⨁1⨁0⨁1=1$
$P_2=H_2⨁H_3⨁H_6⨁H_7=0⨁1⨁1⨁1=1$
$P_4=H_4⨁H_5⨁H_6⨁H_7=1⨁0⨁1⨁1=1$
则$P_4{P}_2{P}_1=111=7$,表示第七位出错。

最后

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