零阶保持器

【自控笔记】6.2零阶保持器

理想低通滤波器在现实中是不存在的，在工程中，最常用的低通滤波器是零阶保持器。这种保持器在一个周期T内的值为常数，其导数为0，故因此而得名。

一、零阶保持器的作用

零阶保持器的作用很简单，就是把输入它的信号保持一个周期T，其它什么也不干。

如上图所示，当输入信号为$\delta (t)$是，零阶保持器的输出就是$\delta (t)$的值，并保持一个周期。同理当输入信号为$e^{\ast }(t)$时，其输出就是各个离散信号点保持一个周期，还原出连续信号。

由此往下，研究零阶保持器的传递函数，能够了解使用零阶保持器恢复信号对原信号的差别。

二、零阶保持器的传递函数

零阶保持器的时域函数如下：
$$g_h(t)=1(t)-1(t-T)$$
可以想象一下，它的时域函数在T以前是单位阶跃函数1(t)，当t≥T时，1(t)-1(t-T)的值就为零了。所以它的时域图像是在一个周期T内的单位阶跃函数。

对$g_h(t)$进行拉普拉斯变换即可得到它的传递函数：
$$G_h(s)=L[g_h(t)]=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}{e}^{-Ts}=\frac{1-e^{-Ts}}{s}$$

令$s=j\omega$可以得出零阶保持器的幅频特性
$$|G_h(j\omega )|=T\cdot \frac{sin(\omega T/2)}{\omega T/2}$$
零阶保持器的相频特性
$${\phi }_h(\omega )=-\frac{\omega T}{2}$$
其中T为采样周期，采样频率${\omega }_s=\frac{2\pi }{T}$。因此零阶保持器的幅频特性和相频特性的图像如下：

三、零阶保持器对信号的影响

观察零阶保持器的频率特性曲线，可以看出，它不仅采样信号的主频通过，还能使部分高频分量通过，所以恢复的信号有一定的差异。观察它的相频特性曲线，它的相频是正比于频率相位滞后的，即引入零阶保持器会使系统的相角裕度损失，造成系统稳定性下降。

最后

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