MATLAB 数学应用微分方程常微分方程解算刚性ODE

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我是靠谱客的博主烂漫手链，最近开发中收集的这篇文章主要介绍MATLAB 数学应用微分方程常微分方程解算刚性ODE，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

本文讲述了两个使用 ode15s 解算刚性常微分方程的示例。MATLAB 拥有四个专用于刚性 ODE 的求解器。

ode15s
ode23s
ode23t
ode23tb

对于大多数刚性问题，ode15s 的性能最佳。但如果问题允许较宽松的误差容限，则 ode23s、ode23t 和 ode23tb 可能更加高效。

什么是刚性 ODE？

对于一些 ODE 问题，求解器采用的步长被强制缩小为与积分区间相比过小的级别，甚至在解曲线平滑的区域亦如此。这些步长可能过小，以至于遍历很短的时间区间都可能需要数百万次计算。这可能导致求解器积分失败，即使积分成功也需要花费很长时间。

导致 ODE 求解器出现此行为的方程称为刚性方程。刚性 ODE 造成的问题是，显式求解器（例如 ode45）获取解的速度慢得令人无法忍受。这是将 ode45 与 ode23 和 ode113 一同归类为非刚性求解器的原因所在。

专用于刚性 ODE 的求解器称为刚性求解器，它们通常在每一步中完成更多的计算工作。这样做的好处是，它们能够采用大得多的步长，并且与非刚性求解器相比提高了数值稳定性。

求解器选项

对于刚性问题，使用 odeset 指定 Jacobian 矩阵尤为重要。刚性求解器使用 Jacobian 矩阵 $f_i / partial y_j$ 来预测 ODE 在积分过程中的局部行为，因此提供 Jacobian 矩阵（或者对于大型稀疏方程组提供其稀疏模式）对于提高效率和可靠性而言至关重要。使用 odeset 的 Jacobian、JPattern 或 Vectorized 选项来指定 Jacobian 的相关信息。如果没有提供 Jacobian，则求解器将使用有限差分对其进行数值预测。

有关其他求解器选项的完整列表，请参阅 odeset。

示例：刚性 van der Pol 方程

van der Pol 方程为二阶 ODE

$y''_1 - mu left( 1 - y_1^2right) y'_1+y_1=0,$

其中 $KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 5: mu &̲#62; 0$ 为标量参数。当 $μ = 1$ 时，生成的 ODE 方程组为非刚性方程组，可以使用 ode45 轻松求解。但如果将 $μ$ 增大至 1000，则解会发生显著变化，并会在明显更长的时间段中显示振荡。求初始值问题的近似解变得更加复杂。由于此特定问题是刚性问题，因此专用于非刚性问题的求解器（如 ode45）的效率非常低下且不切实际。针对此问题应改用 ode15s 等刚性求解器。

通过执行代换 $y'_1 = y_2$ ，将该 van der Pol 方程重写为一阶 ODE 方程组。生成的一阶 ODE 方程组为

$&y'_1 = y_2\ &y'_2 = mu (1-y_1^2) y_2 - y_1 . end{array}$

vdp1000 函数使用 $μ = 1000$ 计算 van der Pol 方程。

function dydt = vdp1000(t,y)
dydt = [y(2); 1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

使用 ode15s 函数和初始条件向量 [2; 0]，在时间区间 [0 3000] 上解算此问题。由于是标量，因此仅绘制解的第一个分量。

[t,y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2; 0]);
plot(t,y(:,1),'-o');
title('Solution of van der Pol Equation, mu = 1000');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y_1');

在这里插入图片描述

vdpode 函数也可以求解同一问题，但它接受的是用户指定的 $μ$ 值。随着 $μ$ 的增大，该方程组的刚性逐渐增强。

示例：稀疏 Brusselator 方程组

经典 Brusselator 方程组可能为大型刚性稀疏矩阵。Brusselator 方程组可模拟化学反应中的扩算，并表示为涉及 $u$ 、 $v$ 、 $u^{'}$ 和 $v^{'}$ 的方程组。

$&u'_i=1+u_i^{2}v_i-4u_i+alpha( N + 1)^{2} (u_{i-1}-2_i+u_{i+1} ) \ &v'_i = 3u_i-u_i^{2}v_i + alpha( N+1) ^{2}( v_{i-1} - 2v_i+v_{i+1} ) end{array}$

函数文件 brussode 使用 $α = 1 / 50$ 在时间区间 [0,10] 上对这组方程进行求解。初始条件为

$&u_j(0) = 1+sin(2 pi x_j)\ &v_j(0) =3, end{array}$

其中，当 $i = 1, . . ., N$ 时， $x_j = i/N+1$ 。因此，该方程组中有 $2 N$ 个方程，但如果这些方程按 $u_1,v_1,u_2,v_2,...$ 的形式排序，则 Jacobian $\partial f / \partial y$ 为具有常量宽度 5 的带状矩阵。随着 $N$ 的增大，此问题的刚性逐渐增强，并且 Jacobian 矩阵的稀疏性也逐渐增大。

函数调用 brussode(N)（其中 N > 2）为方程组中的 N（对应于网格点数量）指定值。默认情况下，brussode 使用 N = 20。

brussode 包含一些子函数：

嵌套函数 f(t,y) 用于编写 Brusselator 问题的方程组代码，并返回一个向量。

局部函数 jpattern(N) 返回由 1 和 0 组成的稀疏矩阵，从而显示 Jacobian 矩阵中非零值的位置。此矩阵将赋给 options 结构体的 JPattern 字段。ODE 求解器使用此稀疏模式，生成稀疏矩阵形式的 Jacobian 数值矩阵。在问题中提供此稀疏模式可将生成 2N×2N Jacobian 矩阵所需的函数计算量从 2N 次大幅减少至仅仅 4 次。

function brussode(N)
if nargin<1
N = 20;
end
tspan = [0; 10];
y0 = [1+sin((2*pi/(N+1))*(1:N)); repmat(3,1,N)];
options = odeset('Vectorized','on','JPattern',jpattern(N));
[t,y] = ode15s(@f,tspan,y0,options);
u = y(:,1:2:end);
x = (1:N)/(N+1);
figure;
surf(x,t,u);
view(-40,30);
xlabel('space');
ylabel('time');
zlabel('solution u');
title(['The Brusselator for N = ' num2str(N)]);
function dydt = f(t,y)
c = 0.02 * (N+1)^2;
dydt = zeros(2*N,size(y,2));
% preallocate dy/dt
i = 1;
dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 - 4*y(i,:) + c*(1-2*y(i,:)+y(i+2,:));
dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(3-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));
i = 3:2:2*N-3;
dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 - 4*y(i,:) + ...
c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+y(i+2,:));
dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + ...
c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));
i = 2*N-1;
dydt(i,:) = 1 + y(i+1,:).*y(i,:).^2 - 4*y(i,:) + c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+1);
dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+3);
end
% -------------------------------------------------------------------------
end
% ---------------------------------------------------------------------------
function S = jpattern(N)
B = ones(2*N,5);
B(2:2:2*N,2) = zeros(N,1);
B(1:2:2*N-1,4) = zeros(N,1);
S = spdiags(B,-2:2,2*N,2*N);
end
% ---------------------------------------------------------------------------