数字电路基础知识——数字逻辑代数(逻辑代数基本定理及常用公式，最大项、最小项，公式法、卡洛图法及Q-M法化简（列表法）化简逻辑函数)

数字电路基础知识——数字逻辑代数(逻辑代数公式、卡洛图的运用、Q-M法化简（列表法）)
本节主要介绍逻辑代数的公式、及逻辑函数的化简、包括公式法化简、卡洛图化简、Q-M列表法化简。重点需要知道前面两种的方法，第三种可以了解，能够帮助自己更深的了解逻辑相邻项的理解

一、逻辑代数的三个基本运算

逻辑代数中最基本的三个运算：与、或、非
基本的函数关系如下：

二、逻辑代数的基本定律

1. 基本公式

比较重要的是后面三个定律：

1. 反演律（德摩根律）
   使用此定律可以将乘积项或和项打开。
   具体规则是 × 变+，+变×；原变量变反变量，反变量变原变量
2. 吸收律
   重点知道这个：A+A’B=A+B、A+AB=A、A（A+B）=A
   A+A’B
   =A+AB+A’B
   =A+B(A+A’)
   =A+B
3. 冗余律
   AB+A’C+BC=AB+A’C
   AB+A’C+BC
   =AB+A’C+(A+A’)BC
   =AB+A’C+ABC+A’BC
   =AB+ABC+A’C+A’BC
   =AB(1+C)+A’C(1+B)
   =AB+A’C

2. 基本定理

1. 代入定理
   任何一个逻辑式代入原来式中所有的相同变量的位置，等式仍然成立。

2. 反演定理

3. 对偶定理
   若两逻辑等式相等，则他们的对偶式也相等
   对偶定理主要在某些情况下，证明某式成立时，可以通过证明其对偶式成立来简化证明。
   如：
   Y=A(B+C)，则Y^D=A+BC
   Y=(AB+CD)’，则Y^D=((A+B)（C+D))’
   Y=AB+(C+D)’，则Y^D=(A+B)（CD)’
   

三、逻辑函数的两种标准式

1. 最小项
   n个变量的最小项是含n个变量的与项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。
   通常用mi表示各项。
   
   
   如：对于下面的逻辑表达式：
   

2. 最大项
   n个变量的最大项是含n个变量的或项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。
   通常用Mi表示各项。

3. 最大项和最小项的性质：
   n变量的全部最小项之和恒为1，全部最大项之积恒为0.
   任意两个最小项之积恒为0,任意两个最大项之和恒为1.
   n变量的每一个最小项或者最大项有n个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称逻辑相邻项）

四、逻辑函数的卡洛图化简

公式法化简逻辑函数其实就是用上面的公式来化简。
主要介绍一下卡洛图化简。

1. 相邻项
   首先需要知道相邻项的概念，即两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称逻辑相邻项
2. 卡洛图
   把任意两个逻辑上相邻的最小项变为几何中的相邻，做到逻辑相邻和几何相邻
   2变量卡洛图：由代表四个最小项的四个方格组成：
   
   三变量卡洛图由8个最小项组成，需要注意的是最小项编码和格雷码的编码类似，即相邻位置或者首尾是逻辑相邻。：
   
   四变量如下（一般卡洛图的化简至多四-五个变量）：
   
3. 逻辑函数在卡洛图的表示
   
   如：
   
4. 卡洛图最小项合并规则
   任何两个为一的相邻最小项可以合并为一项，并消去一个变量（消去的是互为反变量的因子，保留公因子）
   
   任何四个为一的相邻最小项（可以是循环相邻）可以合并为一项，并消去两个变量
   
   
5. 图形法化简的基本步骤

第一、将函数化为最小项之和的形式，然后做函数的卡洛图，确定卡洛图方格矩阵
第二、画卡洛圈（要遵循卡洛圈最少，最大的原则）
第三、写逻辑表达式（相同变量留下，不同变量去掉）

五、Q-M法化简逻辑函数（奎恩-麦克拉斯基），也叫列表化简法

卡洛图法化简虽然比较直观，简单，但是也有自身的缺点，如当逻辑变量大于五个之后，会变得很困难。
而公式法化简虽然虽然不受变量数量的影响，但是化简过程并没有固定、通用的步骤。所以也很难借助计算机辅助进行化简。
本节介绍一下Q-M法化简，本质上也是通过相邻最小项消去多余因子，来求逻辑函数的

先将函数表达式用最小项之和的形式表示：
如下面的函数表达式：

1. Y=Σm(0,3,4,5,6,7,8,10,11)
2. 将其按照一个个数一次排列分组，如下：
   
3. 合并相邻的最小项
   即将上表中每一组的每一个最小项与相邻组所有的最小项逐一比较，若仅有一个因子不同，则可以合并，并消去不同的因子。如下，例如罪域m0和m4仅尤一位不一样，所以这一位可以合并为0-00，同时将上表中可以合并的用“对号”表示，不能合并的用Pi表示。
   按照同样的方法，可以在次合并下面左边的一列，可以合并的用“对号”表示，不能合并的用Pi表示。
   
   因此经过以上的并向合并，留下了没有合并过的最小项Pi,所以就包含了函数Y的全部最小项，因此，可以表示为：
   Y=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7
   需要注意的是上面的表达式并不一定是最简结果，将所有Pi列成如下表格。

上表格中的m5、m6、m8都是只在Pi中只出现了一次所以最小项一定包含P1和P4，所以选取了这两项之后，以及包含了m4、m5、m6、m7、m8、m10这六个，除去之后剩下的m0、m3、m11如下表所示：

现在就是化简上面的结果了，因为P2和P3都有m0,因此可以去任何一项作为最简项。
对于P5、P6、P7，由于P5和P7行的所有项均包含在P6中，因此P6包含了P5、P7的所有最小项，故将P5、P7删掉。因此最终的结果是：
Y=P1+P4+P3+P6

最后

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