傻子都能看懂的——条件熵

引言

关于信息熵请看之前一篇博客：傻子都能看懂的——信息熵（香农熵）

条件熵 H(Y|X) 表示在已知随机变量 X 的条件下随机变量 Y 的不确定性。条件熵 H(Y|X) 定义为 X 给定条件下 Y 的条件概率分布的熵对  X 的数学期望。

如何理解这个数学期望，请看下图公式第二步，是不是一个经典的数学期望式子？

第二步到第三步，也就是条件概率到联合概率：P(x,y)=P(x∩y)=P(x|y)*P(y)

例子

假如我们有上面数据：

设随机变量Y={嫁，不嫁}

我们可以统计出，嫁的个数为6/12 = 1/2

不嫁的个数为6/12 = 1/2

那么Y的熵，根据熵的公式来算，可以得到H（Y） = -1/2log1/2 -1/2log1/2

为了引出条件熵，我们现在还有一个变量X，代表长相是帅还是不帅，当长相是不帅的时候，统计如下红色所示：

可以得出，当已知不帅的条件下，满足条件的只有4个数据了，这四个数据中，不嫁的个数为1个，占1/4

嫁的个数为3个，占3/4

那么此时的H（Y|X = 不帅） = -1/4log1/4-3/4log3/4

p(X = 不帅) = 4/12 = 1/3

同理我们可以得到：

当已知帅的条件下，满足条件的有8个数据了，这八个数据中，不嫁的个数为5个，占5/8

嫁的个数为3个，占3/8

那么此时的H（Y|X = 帅） = -5/8log5/8-3/8log3/8

p(X = 帅) = 8/12 = 2/3

计算结果

有了上面的铺垫之后，我们终于可以计算我们的条件熵了，我们现在需要求：

H（Y|X = 长相）

也就是说，我们想要求出当已知长相的条件下的条件熵。

根据公式我们可以知道，长相可以取帅与不帅俩种

条件熵是另一个变量Y熵对X（条件）的期望。

公式为：

H（Y|X=长相） = p(X =帅)*H（Y|X=帅）+p(X =不帅)*H（Y|X=不帅）

然后将上面已经求得的答案带入即可求出条件熵！

这里比较容易错误就是忽略了X也是可以取多个值，然后对其求期望！！

最后

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