matlab罗朗展式,用MATLAB求留数

收稿日期 :2006 —05 - 29 作者简介 :贾新民(1956 —) ,男 ,四川邻水县人 ,副教授 ,研究方向 :计算机应用1 用 MATLAB 求 留 数 贾新民 (昌吉学院计算机工程系 　新疆 　昌吉 　831100) 摘 　要 :文章给出了用 MATLAB 求复变函数的留数的方法。 关键词 :MATLAB ;复变函数 ;高阶极点 ;留数 中图分类号 :O174 文献标识码 :A 文章编号 :1671 - 6469(2006)03 - 0101 - 03 　　Matlab 是集数值计算、符号运算及图形处理 等功能为一体的功能强大的科学计算平台。Mat2lab 在高等数学、力学、机械、电工、信号处理、自动控制等领域都有广泛的应用。本文介绍利用 Matalb 求复函数留数的方法。 1. 留数及其求法 : 留数又称为残数。复变函数f (z) 在 p 点的留数定义为f (z) 在 p 点罗朗展开中(z - p) - 1的系数c - 1。 f (z)在 p 点的留数记为 res[f (p) ] 留数的求法 :设 z0 是函数 f (z) 的 m(m ≥1) 阶极点 ,则 Res[f (p) ] = 1 (m - 1) ! lim z → p dm - 1 dzm - 1[ (z - p) mf (z) ]。 (1) 下面通过例子说明几种特殊情形下用 Matlab 求留数的方法。 2. f (z)是有理分式的情形 Matalab 的信号处理工具箱中的函数 residue 的作用是求有理分式展开为部分分式时的展开系数 ,巧妙地应用该函数 ,可以求出有理分式的留数 (数值解) 。使用语法为 [r ,p ] = residue(分子多项式 ,分母多项式) 其中 r 是部分分式的系数数组(留数数组) ,p 是极点数组。使用时需要注意 ,当函数有重极点时 ,对同一个极点 p ,存在几个展开系数 r ,这几个r 中只有与相同极点中第一个对应的 r 是 (z - p) - 1的系数即与极点 p 对应的留数 ,其余的不是留数。 例 1 求函数f (z) = z + 3 z2 + 3z + 2 的极点和留数。 解 :matlab 程序及结果为 a = [1 ,3] ;b = [1 ,3 ,2] ; 　　　　%a、 b 分别 是f (z)分子多项式和分母多项式的系数矩阵 [r ,p ] = residue(a ,b) 　　%r 和 p 分别是 f (z) 的留数数组和极点数组 r = 　　- 1 2 p = 　　- 2 　　- 1 从结果看出 :res[f ( - 2) ] = - 1 ,res[f ( - 1) ] = - 2。 例 2 求函数f (z) = z15 (z2 + 1) 2 (z4 + 2) 3 在各极点 的留数。 解 :所给函数一共有 7 个极点 :以及 p = ± i ,p = 4 2e ( π+ 2Kπ ) i/ 4 ,(k = 0 ,1 ,2 ,3)以及 p = ∞。 用 residue 函数时 ,首先要将 f (z) 分母展开为多项式 ,用手工展开是比较费事的。matlab 的信号处理工具箱中求卷积的函数 conv 可以用来进行多项式乘积。用Matlab 求解该问题的程序和结 101 　　　　　　　　　　　　　　　　　昌吉学院学报 　　　　　　　　　　　　　2006 年第 3 期 果如下 : a = [1 ,0 ,1] ; a1 = conv(a ,a) ; a2 = [1 ,0 ,0 ,0 ,2] ; a3 = conv(a2 ,a2)

最后

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