matlab 求留数,基于MATLAB的留数计算方法的探讨

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1、数学教学研究 第33卷第7期2014年7月基于MATLAB的留数计算方法的探讨岳温川，姚喜妍(运城学院应用数学系，山西运城044000)摘要：Madab在高等数学、力学、机械、电工、信号处理、自动控制等领域有着广泛的应用本文介绍了Matlab的基本操作、基本功能以及M&dab计算留数的基本命令，结合复变函数和MatkIb语言的特点，以复变函数中求留数的具体问题为例，探讨了Madab求留数的计算方法，这种方法使得留数的计算更加简单、快捷关键词：ManabI留数I计算方法中圈分类号：01745l引言与预备知识Matlab语言是应用和影响最广泛的计算机数学语言之一，它集数值分析、图形显示于一体，具有。

2、方便的、界面友好的用户环境Matlab的主要优点在于具有数值运算、符号运算、数学和文字同时处理等功能复变函数是电子、信号、通讯、控制系统等理工学科必备的基础课，有着十分重要的意义然而复变函数的内容主要是大量的抽象理论，使其成为后续专业课程学习和应用的“拦路虎”，特别是留数的计算问题如果我们能够学会利用Matlab求出留数，不仅可以求函数在孤立奇点处的留数，而且可以运用留数定理把一些难以解决的复积分计算问题转化为求留数的问题因此，利用Matlab求留数不仅非常重要，而且十分简捷和方便应用Matlab软件解决留数问题，把复杂繁琐的运算交给计算机，使得复变函数教学中将抽象的概念变得较为直观，将复杂的。

3、计算变得较为简洁，能够加深学生对数学概念的理解，增强学生学习的兴趣，提高学生学习的主动性和创造性2006年，贾新民学者给出了利用Matlab求留数的基本方法2007年，于风敏，于南翔，吴慧莲探究了Matlab在工程数学教学中的应用，包括Matlab在概率与数理统计中的应用、Matlab在复变函数中的应用、Matlab在积分变换中的应用2008年，李杰给出了留数计算方法的理论依据本文给出Matlab软件的基本理论和留数的理论计算方法，探讨了如何利用Matlab软件解决计算留数的问题，并得到了一些较好的计算方法2 Ma：tlab的基本操作21启动与退出Matlab是Matrix LabOratry。

4、缩写，意为“矩阵实验室，是当今很流行的科学计算软件从Windo、船中双击Matlab图标，会出现Matlab命令窗口(Command Window)，在一收稿日期：201403-26基金项目：山西省高等学校教学改革项目(J2012098)，运城学院教学改革项目(JG201204)f运城学院教育教学研究项目(JY2011025)通讯作者：姚喜妍(1963一)，女，山西闻喜人，教授，主要从事算子理论和数学教育研究E-mailIyaoxy63163m万方数据第33卷第7期2014年7月 数学教学研究 61段提示信息后，出现系统提示符“”，这时你就可以输入命令了Matlab是一个交互式的系统，输入命令。

5、后，系统马上解释和执行你输入的命令并输出结果如果命令有语法错误，系统会给出提示信息在当前提示符下，你可以通过上下箭头调出以前输入的命令，用滚动条可以查看以前的命令及输出信息22量和表达式Matlab命令的通常形式为：变量=表达式变量以字母开始，最多可以有31位，可以是字母、数字，不能有空格、逗号等，不能与预定义变量相同表达式由操作符或其他特殊字符、函数和变量名组成Matlab执行表达式并将执行结果显示于命令后，同时存在变量中以留用如果变量名和“=”省略，即不指定返回变量，则名为a11s的变量将自动建立例如：输入1352一s(23*试)+sq【n(1235)12输出结果为ans=525lO23指。

6、令中的标点符号空格用于输入量与输入量的分隔符，数组行元素间的分隔符逗号，指令之间的分隔符，其余作用同空格分号；数组间的行分隔符，指令结尾，则不显示运行结果百分号后面为注释括号用于数组输入时用24建立符号对象Matkb提供了两个建立符号对象的函数：sym和s蛐nus，两个函数的用法不同(1)s舯函数sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为=符号量名=sym(符号字符串)该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式应用s脚函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同(2)syms函数函数syms一次可以定义多个符号变量syms函数的一般调用格。

7、式为：syms符号变量名1符号变量名2符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(、)，变量间用空格而不要用逗号分隔3 M砌曲计算留数的基本命令31有理分式的情形Matlab的信号处理工具箱中的函数residue的作用是求有理分式展开为部分分式时的展开系数，巧妙地应用该函数，可以求出有理分式的留数(数值解)使用语法为：r，p=residue(分子多项式，分母多项式)其中r是部分分式的系数数组(留数数组)，p是极点数组使用时需要注意，当函数有重极点时，对同一个极点夕，存在几个展开系数r，这几个r中只有与相同极点中第一个对应的r是(z一户)-1的系数即与极点夕对应的留数，其余。

8、的不是留数注用residue函数时，首先要将，(z)分母展开为多项式，用手工展开是比较费事的Matlab的信号处理工具箱中求卷积的函数conv可以用来进行多项式乘积32非有理分式的情形如果函数，(z)的形式不是有理分式时，求函数在极点户处的留数的方法只能先进行判断该极点的重数，然后再利用Matlab的符号运算功能根据公式万方数据62 数学教学研究 第33卷第7期2014年7月Re虹八2)=瓦=兰而li兰两(2一夕)V(z)2丽i丽坚哿夏两L【2一夕尸八力J进行计算Matlab求留数的源程序B=limit(f*(za)，z，a) 单奇点B=limit(f*(za)m，z，m1)p删(1：m一1)。

9、，z，a) m重奇点注a为奇点，m为重数4 M棚ab计算留数的方法按照留数定义，我们可以通过求函数的洛朗级数的方法来求得函数在给定点的留数，但是如果遇到较为复杂的函数，要求留数并非一件容易的事，而Matlab工具提供了一些计算留数的简单、快捷的方法41用旭潮鹏函数求留数设z的有理分式为八力=蔷羞辱毒揣，式中m(f=1，2，咒)和岛OO，1j2，m)的某些值可能为零在Matlab的行向量中，加m和d髓分别表示，(2)分子和分母的系数用于尥)的部分分式展开的M甜ab命令r，p，k=lIesidue(num，den)Matlab将按下式给出，(z)部分分式展开式中的留数、极点和余项，从而可以计算出有。

10、理分式的留数注用r酷idue函数时，首先要将，(2)分母展开为多项式，用手工展开是比较费事的Matlab的信号处理工具箱中求卷积的函数eonv可以用来进行多项式乘积倒l计算函数弛，=筹器辍燃在极点处的留数+解在Matlab命令窗口键入r，p，k=residue(n啪，den)结果为：r2 p210000 4O00025000 3000030000 20000O5000 10000从结果中可以看出该函数的极点分别为：一4，一3，一2，一1；对应的留数分别是：Re s，(一4)一1，Re正，(一3)=25，Re虹八一2)=一3，Re正，(一1)一o542用符号运算求留数用Matlab软件中的res。

11、idue函数求留数虽然方便快捷，但有两个缺点：第一，要求函数，(z)的形式必须是有理分式；第二，只能求数值解，不能求解析解当函数，(z)的形式不是有理分式时，求函数在极点户处的留数的方法只能先判断极点的重数，然后利用Matlab的符号运算功能根据公式Re s八2)，孙=蕊兰雨lim等导(z一勐)v(2)2丽习两毁j万L【纩勐)Y【力J进行计算例2计算函数，(名)=i刍在z=士1点的留数 !：基_。解显然，z=1和z一1都是，(z)的一阶极点，所以在Matlab命令窗口键人：syms zf=z*e砷(z)(z21)；R1=limit(z一1)*f，z，1)R2=liIllit(z+1)*f，z，。

12、一1)万方数据第33卷第7期2014年7月结果为：R1=12*eXp(1)R2=12*exp(一1)例3计算函数厂(z)2孑孝可sin(抖号)e吨的留数分析不难看出z一0是三重奇点，2=1是单个奇点在Matlab命令窗口中键入sylns z；f=sin(z+pi3)*exp(一2*z)z3*(z一1)；R=limit(diff(f*z3，z，2)pd(1：2)z，O)；R一扣+丢八z)在z=o处的留数为一丢压+丢在Matlab命令窗口中键入茏s)mls z；f=sin(z+pi3)*exp(一2*z)z?3鼍(z一1)；R=lifTlit(f*(z一1)，z，1)l尺=一丢e-2sin 1+丢。

13、厢e-2s 1八2)在z=1处的留数为一丢e-2sinl+丢压e-2cos 1例4计算函数，(z)2刍在名2处的留数分析我们可以看出，(z)在扩充的复平面上有3个极点：1，一1，根据计算留数定理，(z)的处的留数应该等于其在1和一1处留数的和，1和一1又是八2)的一阶极点，所以有：Re s盯(z)，=Re虹，(2)，1+Re虹，(z)，一1在Matlab命令窗口键人：s卵ms zf=e冲(z)(r21)；R1一limit(f*(z一1)，z，1)勉=lilIlit(f*(z+1)，z，一1)R=R1+勉结果为：R1=12*exp(1)I毪=12*e印(一1)R=12*exp(1)一12*e】中。

14、(一1)考文献1王见勇无穷远点的留敖计算及留敷定理的推广D高等数学研克，2004，(1)：23302 贾新民用龇b求留敖J昌吉学呋学报，2006，(3)110l一1033马建清一类分式的留数计算方法J高等函授学报，2012，(6)l 1041084王成留数计算方法的改进J楚簟师范学院报，2004，19(6)z20-215邦俊雄膏敦计算规则的推广J上海建材学院学报。19936(4)：324-3296李杰膏款的计算J科教文汇，2008，(10)。2722737 于凤J鲶，于南翔，吴慧莲Matlab在工程数学教学中的应用J宣庆邮电大学学报，27(6)l 176-1778高兰嶂j关于舒敷计算方法的补充讨论口大学物理，1992，12(11)：39409郁善根，部位雄关于留敖计算的一个定理D大庆石油学院学报，1991，2(15)111612110王正生MBdab与科学计算M北京：国防工业出版社，2011万方数据。