图片 频率域 matlab_零极点与系统稳定关系 拉氏变换的收敛域

掌握几点：

1.系统稳定是什么意思？也就明白了为什么要关注系统稳定。

2.如何根据传递极点位置判断系统稳定性，什么原理。

3.其他系统稳定性判断准则及其原理。

4.稳态响应，暂态响应。

5.传递函数收敛。

研究自控的初衷，项目中用到的是负反馈系统，希望根据系统传递函数研究负反馈系统的输入输出响应关系，指导负反馈系统的设计。

得到系统传递函数，我们可以等到波特图，可以得到幅值与频率的衰减关系，一般是低通滤波器的曲线，可以通过改变传递函数的积分、微分环节改善幅频特性，最终目的是希望输出尽快收敛稳定。比如输入是标准1PPS的信号，输出尽快跟踪到标准1PPS上来。输入1PPS信号可能有些高频噪声，这个噪声会被过滤（波德图中高频段衰减）。

当然研究这些，首先要研究这个系统的稳定性，稳定性的定义：

稳定性判断：在零初始条件下，当且仅当t→∞trightarrow inftyt→∞,闭环系统的单位脉冲响应为零时，系统是稳定的。

分析：首先是单位脉冲响应,单位脉冲的拉氏变换是1，也就是说均匀包含了所有频率分量。时间趋向于无穷，系统最终响应为0。

我觉得这个比较好理解，如果时间趋向于无穷，系统已经早没有了输入，输出还不为0，那肯定是不稳定的。换句话说，系统应该在某个频率分量是正反馈，有放大作用，或者极端点，没有放大也没有衰减作用，那么后面只要输入此频率分量，系统都不会衰减，系统输出肯定会越来越大，无法收敛，无法稳定得跟踪输入。

参考文章：

零极点和系统稳定性关系_matlab_wanrenqi的博客-CSDN博客​blog.csdn.net

假设，某传递函数为：

拉氏逆变换

我们分析其中一个函数

假设

t趋向于正穷时，如果要求

对应到极点：

要求这个极点在复平面的左半平面（实轴分量小于0）

所在有：

总结一下：

1.系统传递函数的极点都在S平面的左半平面，也就是说传递函数极点的实部都小于0，这种情况下

2.传递函数的拉氏逆变换是一个关于时间的函数，在时间趋于无穷的时候，函数值趋于0.

3.也就是说初始输入单位脉冲信号，时间趋于无穷的时候，系统输出最后为0.表示系统稳定。

除了这个判断标准外，还有其他判断准则（劳斯稳定性判据。。。）的原因：

所以系统的稳定性由闭环传函极点的实部决定。 所以对于高阶系统无法求时域响应时，只要判断闭环传递函数的极点位置就行。

但是有一点，是要判断所有极点位置分布。对于高阶系统，求出所有极点，还是有一定的难度。那么我们就有了其他的稳定性判据：

1. 劳斯稳定性判据；
2. 赫尔维茨稳定性判据；
3. 伯德图稳定性判定法（频响）；
4. 奈奎斯特稳定性判据（频响）；

需要说明的是，劳斯和赫尔维茨稳定性判据只能判断系统稳不稳定，却不能判断系统有多稳定或者说离不稳定有多远。

传递函数收敛域：使F(s)存在的s的区域。

也称为拉氏变换的收敛域，指的是S取哪些值，拉氏变换F(s)才有值，才收敛，才不是无穷大，或者说，S取哪些值，此时域信号才有拉氏变换。

我们知道

根据拉氏变换的来由：时域函数 乘以 衰减因子

F(s)在t趋向于无穷的时候，可以得到值，收敛，不是无穷大。

这里考虑两种情况：

1.原函数

即复数平面中，实轴大于3的右半平面。

2.原函数

即复数平面中，实轴大于-3的右半平面。

这里可以再引申一点：

我们求拉氏变换，都是基于因果系统，简单点说就是有个条件：

这种信号求的拉氏变换就是单边拉氏变换。

如果信号t>0,t<0，都有值，或者说，我们求同一个信号的拉氏变换，比如

这种信号肯定是没有拉氏变换的，为什么呢，因为你找不到这样的一个

上面所说的没有双边拉变换的函数特指：两边都是同一个函数形式。如果两边不是同一个函数形式，他们的双边拉氏变换是可能有共同收敛域的。

直流分量的傅里叶变换是冲激函数 那直流分量的拉普拉斯变换是什么 ?​www.zhihu.com

因果系统的理解见：

再不彷徨：因果系统 单边拉氏变换 双边拉氏变换​zhuanlan.zhihu.com

综上所述，我们分析一个系统，看拉氏变换：

1.要能进行拉氏变换:在S平面由敛域内，拉氏都收敛。收敛域：收敛域其实原始意义解决的问题是：一个时域信号，要能进行拉氏变换（为了进行频域分析）的条件，只有收敛，才能拉氏变换呀。对于一个传递函数来说，分析这个变换的收敛域（F(s)收敛），它对应分析的时域信号可以认为是系统的单位脉冲响应。

2.系统要稳定：极点要位于S平面的左半平面，否则单位脉冲函数响应不归零。

有这样一个结论：拉氏变换的收敛域是位于极点中实数最大那个极点的右半平面（如果是因果信号，收敛域是du最右边极点的右边；如果是反因果信号，zhi收敛域是最左边极点的左边；dao如果是双边序列，就要具体问题具体分析了），那位于两个极点中间可不可以呢？

不可以。一个时域信号，如果乘以

我们先单独分析：

条件是：

即s位于极点的右侧平面。

系统稳定和传递函数收敛之间又是什么关系呢？要包含虚轴是什么意思呢？

时域信号：单位脉冲响应

拉氏不收敛，代表不能进行拉氏变换，原因是时域积分不可积。条件：S位于最右侧极点的右侧（其实就是对

系统不稳定，原因是衰减速度不够，时间趋于正无穷时，时域不归0(肯定也会导致时域积分不可积)。条件：极点都们于S平面左半轴。

所以系统稳定条件（肯定在要收敛域内，否则不能归0，不能稳定）：S位于：最右侧极点的右半平面，同时极点都位于虚轴的左半平面。

换句话说就是：

收敛域要包含虚轴（jw）。

引用别外一个地方看到的说法：

“

因为默认是作单边（因果）拉普拉斯变换，极点在左边，收敛域包含jw轴。但是如果有说明是双边拉普拉斯变换，一个极点在左边，一个极点在右边，构成的收敛域是一个含有JW轴的区间，这个时候也是稳定的。总之看收敛域含不含JW轴是正确的。

”

关于系统稳定有个结论：

判断系统的稳定性，理论上只要记住上面一条，拉氏变换收敛域包含虚轴，就完全可以判断了。

问题是：很多情况下，传递函数的极点并不好求，所以才需要稳定判据。就是不求解传递函数的极点，可以判断系统极点的分布情况。

系统的稳态响应，暂态响应：

信号与系统（一）：响应的分类和联系（通解、特解，暂态、稳态，零输入、零状态）、稳定性、传递函数_niceshotgoodball的博客-CSDN博客_bibo稳定要求零输入响应为0​blog.csdn.net

这个文章对我帮助比较大。

系统输出y(t),系统输入x(t).我们求响应，其实也就是系统输出y(t)是关于变量t的函数。

根据系统可以写出传递函数方程，求解。解=通解+特解。

何为通解，特解，下面文章科普的很好。

马同学高等数学​www.matongxue.com