信号与系统(Python) 学习笔记 (8.1) 离散系统z域分析 -- 系统函数 H(z)

• 【总目录】
  • (1) 简介 Intro
  • (2) 傅里叶 Fourier
    • 常用函数的傅里叶变换汇总
  • (3) LTI 系统 与 滤波器
    • 二次抑制载波振幅调制接收系统 Python
  • (4) 取样 Sampling
  • (5) 离散傅里叶 Discrete Fourier
  • (6) 拉普拉斯变换 Laplace Transform
  • (7) 电路与系统函数
    • 连续系统
  • (8) 离散系统z域分析 – z变换
    • 系统函数 H(z)
      

8.2. 系统函数 H(z)

8.2.1. 系统函数 H(z) 定义

• 定义：

$$F(z)\to \boxed{\underset{x=0}{H(z)}}\to Y_f(z)$$

$$H(z)=\frac{Y_{zs}(z)}{F(z)}$$

• 物理含义:

$$h(k)\leftrightarrow H(z)=\sum _{k=0}^{\infty }h(k)z^{-k}$$
$$H(z)=\mathcal{Z}[h(k)]$$

• 计算方法:

  1. $H(z)=\frac{Y_{zs}(z)}{F(z)}$
  2. $H(z)=\mathcal{Z}[h(k)]$
  3. 由系统差分方程求 $H(z)$

• 应用:

  1. 求 $y_{zs}(k)=\mathcal{Z}[Y_{zs}(z)],Y_{zs}(z)=H(z)F(z)$ ;
  2. 求 $h(z)={\mathcal{Z}}^{-1}[H(z)]$ ;
  3. 求 $f(k)={\mathcal{Z}}^{-1}[F(z)],F(z)=\frac{Y_{zs}(z)}{H(z)}$ ;
  4. 表示系统特性：频率特性、稳定性等。

• 分解:

$$f(k)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_c\frac{F(z)}{z}{z}^{k}dz,-\infty <k<\infty$$

• 基本信号 $z^k$ :

$$z_0^k\to \boxed{h(k)}\to z_0^k\cdot H(z_0)$$

$$f(k)\to \boxed{h(k)}\to y_f(k)$$

• 任意信号:

$$\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}\cdot z^k\to \frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}\cdot z^{k}H(z)$$
$${\oint }_c\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}\cdot z^{k}dz\to {\oint }_c\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}\cdot z^{k}H(z)dz$$
$${\oint }_c\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)}{z}\cdot z^{k}dz\to {\oint }_c\frac{1}{2\pi j}\frac{F(z)\cdot H(z)}{z}\cdot z^{k}dz$$
$$Y_f(z)=F(z)\cdot H(z)$$

• 回顾 转换成时域
  $$f(k)\star h(k)\leftrightarrow F(z)\cdot H(z)$$

8.2.2. 系统特性

离散系统的零点与极点

• 类比

$$\begin{array}{rl}H(z)& =\frac{B(z)}{A(z)}\\ & =\frac{b_m{z}^m+b_{m-1}{z}^{m-1}+\cdots +b_{1}z+b_0}{z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0}\\ & =\frac{b_m(z-{\zeta }_1)(z-{\zeta }_2)\cdots (z-{\zeta }_m)}{(z-P_1)(z-P_2)\cdots (z-P_n)}\\ & =\frac{b_m{\prod }_{j=1}^m(z-{\zeta }_j)}{{\prod }_{i=1}^n(z-P_i)},m\le n\end{array}$$

• $H(z)$ 的零点:

$${\zeta }_i,i=1,2,\cdots ,m$$

• $H(z)$ 的极点:

$$P_i,i=1,2,\cdots ,m$$

• 零/极点的种类：
  • 实数、
  • 复数 (复数零、极点必共轭 )
  • 一阶、二阶及二阶以上极点

零、极点与h(k)的关系

• 极点在单位圆内

  • 在实轴上:

    1. 一阶极点:
       $$\frac{Az}{z-a}\leftrightarrow A{a}^k\downarrow \epsilon (k),|a|<1$$
    2. 二阶极点:
       $$\frac{Az}{(z-a{)}^2}\leftrightarrow Ak{a}^{k-1}\downarrow \epsilon (k),|a|<1$$

  • 不在实轴上:

    1. 一阶极点:
       $$\frac{Az}{z-r{e}^{j\beta }}+\frac{A^{\ast }z}{z-r{e}^{-j\beta }}\leftrightarrow 2|A|r^k\downarrow \cos (\beta k+\theta )\epsilon (k),r<1$$
    2. 二阶极点:
       $$\frac{Az}{(z-r{e}^{j\beta }{)}^2}+\frac{A^{\ast }z}{(z-r{e}^{-j\beta }{)}^2}\leftrightarrow 2|A|r^{k-1}\downarrow \cos (\beta (k-1)+\theta )\epsilon (k),r<1$$

  • 结论: 对应$h(k)$按指数规律衰减；

• 极点在单位圆上

  • 在实轴上:

    1. 一阶极点:
       $$\frac{Az}{z\pm 1}\leftrightarrow A(\pm 1^k)\epsilon (k)$$
    2. 二阶极点:
       $$\frac{Az}{(z\pm 1{)}^2}\leftrightarrow Ak\uparrow (\pm 1^{k-1})\epsilon (k)$$

  • 不在实轴上:

    1. 一阶极点:
       $$\frac{Az}{z-r{e}^{j\beta }}+\frac{A^{\ast }z}{z-r{e}^{-j\beta }}\leftrightarrow 2|A|\cos (\beta k+\theta )\epsilon (k),r<1$$
    2. 二阶极点:
       $$\frac{Az}{(z-r{e}^{j\beta }{)}^2}+\frac{A^{\ast }z}{(z-r{e}^{-j\beta }{)}^2}\leftrightarrow 2|A|k\uparrow \cos (\beta (k-1)+\theta )\epsilon (k),r<1$$

  • 结论: 一阶极点对应$h(k)$为稳态分量；二阶及二阶以上极点对应$h(k)$增长。

• 极点在单位圆外

  • 在实轴上:

    1. 一阶极点:
       $$\frac{Az}{z-a}\leftrightarrow A{a}^k\uparrow \epsilon (k),|a|>1$$
    2. 二阶极点:
       $$\frac{Az}{(z-a{)}^2}\leftrightarrow Ak{a}^k\uparrow \epsilon (k),|a|>1$$

  • 不在实轴上:

    1. 一阶极点:
       $$\frac{Az}{z-r{e}^{j\beta }}+\frac{A^{\ast }z}{z-r{e}^{-j\beta }}\leftrightarrow 2|A|r^k\uparrow \cos (\beta k+\theta )\epsilon (k),r>1$$
    2. 二阶极点:
       $$\frac{Az}{(z-r{e}^{j\beta }{)}^2}+\frac{A^{\ast }z}{(z-r{e}^{-j\beta }{)}^2}\leftrightarrow 2|A|r^{k-1}\uparrow \cos (\beta (k-1)+\theta )\epsilon (k),r>1$$

  • 结论: 对应$h(k)$按指数规律增长。

8.2.3. 离散系统稳定性判据（因果系统）

• 离散系统稳定的时域充要条件:(绝对可和)

$$\sum _{k=-\infty }^{\infty }|h(k)|<\infty$$

• 离散系统稳定性的Z域充要条件:

  • 若LTI离散系统的系统函数 $H(z)$ 的收敛域包含单位圆，则系统为稳定系统。
  • 若LTI离散因果系统稳定，要求其系统函数 $H(z)$ 的极点全部在单位圆内。
  • $|p_j|<1$

• 离散因果系统稳定性判定－－朱里准则（Jury stability criterion）
  $$\begin{array}{r}H(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_m{z}^m+b_{m-1}{z}^{m-1}+\cdots +b_{1}z+b_0}{a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0}\end{array}$$
  

  • 要判断 $A(z)=0$ 的所有根的绝对值是否都小于 $1$ 。

  • 朱里准则指出: $A(z)=0$ 的所有根都在单位圆内的充要条件是:

    1. $A(1)>0$
    2. $(-1{)}^{n}A(-1)>0$
    3. $a_n>|a_0|c_{n-1}>|c_0|\cdots r_2>|r_0|$
       对奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
    • 特例: 对二阶系统:
      $$A(z)=a_2{z}^2+a_{1}z+a_0$$
      易得 $A(1)>0,A(-1),a_2>|a_0|$

8.2.4. 系统的方框图

8.2.5. 系统的流图

• 系统流图

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最后

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