Matlab S函数求解PD控制的二阶微分或者二阶状态方程

近几天时间比较充足，便学习一下S函数求解微分方程。其求解方程如下：
$D\left(q\right)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+\mathrm{G}\left(q\right)+\omega =\tau$ (2.7)
$\omega =d_1+d_2\Vert e\Vert +d_3\Vert \dot{e}\Vert$ (2.10)
$y=\dot{e}+\gamma e$ (2.11)
${\dot{q}}_r={\dot{q}}_d-\gamma e$ (2.12)
其中$e=q-q_d$，$\dot{e}=\dot{q}-{\dot{q}}_d$，$q$是实际输出变量，$q_d$是期望输出变量
$\tau =-K_{p}e-K_v\dot{e}+\varphi \left(q,\dot{q},{\dot{q}}_r,{\ddot{q}}_r\right)\hat{P}+u$ (2.16)
$u={\left[u_1\cdots u_n\right]}^T,u_i=-(d_1+d_2\Vert e\Vert +d_3\Vert \dot{e}\Vert )\mathrm{sgn}\left(y_i\right)$ (2.17)
$\dot{\hat{P}}=-\Gamma {\varphi }^T(q,\dot{q},{\dot{q}}_r,{\ddot{q}}_r)y$ (2.18)
$K_p=K_{p1}+K_{p2}{B}_p\left(e\right),K_v=K_{v1}+K_{v2}B\left(\dot{e}\right)$
$K_{p1}=diag\left(k_{p11},k_{p12},\cdots ,k_{p1n}\right),K_{p2}=diag\left(k_{p21},k_{p22},\cdots ,k_{p2n}\right)$
$K_{v1}=diag\left(k_{v11},k_{v12},\cdots ,k_{v1n}\right),K_{v2}=diag\left(k_{v21},k_{v22},\cdots ,k_{v2n}\right)$
$B_p\left(e\right)=diag\left(\frac{1}{a_1+|e_1|},\frac{1}{a_2+|e_2|},\cdots ,\frac{1}{a_n+|e_n|}\right)$
$B_v\left(e\right)=diag\left(\frac{1}{{\beta }_1+|{\dot{e}}_1|},\frac{1}{{\beta }_2+|{\dot{e}}_2|},\cdots ,\frac{1}{{\beta }_n+|{\dot{e}}_n|}\right)$
仿真参数设置如下：
$D_{11}(q_2)=(m_1+m_2)r_1^2+m_2{r}_2^2+2m_2{r}_1{r}_{2}cos{q}_2$
$D_{12}(q_2)=m_2{r}_2^2+m_2{r}_1{r}_{2}cos{q}_2$
$D_{22}(q_2)=m_2{r}_2^2$
$D=[D_{11},D_{12};D_{12},D_{22}]$
$C_{12}(q_2)=m_2{r}_1{r}_{2}sin{q}_2$
$C=[-C_{12}{\dot{q}}_2,-C_{12}({\dot{q}}_1+{\dot{q}}_2);C_{12}{\dot{q}}_1,0]$
$G_1(q_1,q_2)=(m_1+m_2)r_{1}cos{q}_2+m_2{r}_{2}cos(q_1+q_2)$
$G_2(q_1,q_2)=m_1{r}_{2}cos(q_1+q_2)$
$G=[G_{1}g;G_{2}g]$
${\varphi }_{11}={\ddot{q}}_{1r}+e_{1}cos{q}_2$
${\varphi }_{12}={\ddot{q}}_{1r}+{\ddot{q}}_{2r}$
${\varphi }_{13}=2{\ddot{q}}_{1r}cos{q}_2+{\ddot{q}}_{2r}cos{q}_2-{\dot{q}}_2{\dot{q}}_{1r}sin{q}_2-({\dot{q}}_1+{\dot{q}}_2){\dot{q}}_{2r}sin{q}_2+e_{1}cos(q_1+q_2)$
${\varphi }_{21}=0$
${\varphi }_{22}={\varphi }_{12}$
${\varphi }_{23}={\dot{q}}_1{\dot{q}}_{1r}sin{q}_2+{\ddot{q}}_{1r}cos{q}_2+e_{1}cos(q_1+q_2)$
$e_1=g/r_1,g=9.8$
$r_1=1,r_2=0.8,m_1=0.5,m_2=0.5,d_1=2,d_2=3,d_3=6,\omega =d_1+d_2\Vert e\Vert +d_3\Vert \dot{e}\Vert$
$q_{1d}=sin(2\ast \pi \ast t),q_{2d}=sin(2\ast \pi \ast t)$
$[q_1;{\dot{q}}_1;q_2;{\dot{q}}_2]=[0.1;0;0.1;0]$
$K_{p1}=diag(180,190),K_{p2}=diag(150,150)$
$K_{v1}=diag(180,180),K_{v2}=diag(150,150)$
${\alpha }_i={\beta }_i=1(i=1,2),\gamma =5,\Gamma =[500;050;005]$
编程分析：等式2.7右边写成一个S函数。首先分析输入参数个数，由于等式2.16中有$q,\dot{q},q_d,{\dot{q}}_d,{\ddot{q}}_d$五个变量，并且每个变量是二维的所以输入参数设置为10。输出变量$\tau$是个二维的，$p$是三维的，所以右边S函数的输出设置为5。直接反馈设置为1中间需要求解公式2.18，所以此函数需要用到微分模块sys=mdlDerivatives(t,x,u)，所以连续变量状态数设置为3。

等式2.7左边的S函数编写，求解过程中需要$q_{,}{\dot{q}}_d,\tau$三个变量，所以输入个数设置6，输出变量$q,\dot{q}$,所以设置为4。等式2.7左边是个二维二阶微分方程求解，所以连续状态设置为4。
由于CSDN粘贴Matlab代码不方便，具体的函数编写放在相应的附件中。https://download.csdn.net/download/cswh876908060/12155057。如需代写，或者咨询，请联系：

最后

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