chi2inv函数 matlab_MATLAB概率统计函数(1)

第4章  概率统计

本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12ToolboxStats中。

4.1  随机数的产生

4.1.1  二项分布的随机数据的产生

命令  参数为N，P的二项随机数据

函数  binornd

格式  R = binornd(N,P)   %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。

R = binornd(N,P,m)   %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = binornd(N,P,m,n)  %m,n分别表示R的行数和列数

例4-1

>> R=binornd(10,0.5)

R =

3

>> R=binornd(10,0.5,1,6)

R =

8     1     3     7     6     4

>> R=binornd(10,0.5,[1,10])

R =

6     8     4     6     7     5     3     5     6     2

>> R=binornd(10,0.5,[2,3])

R =

7     5     8

6     5     6

>>n = 10:10:60;

>>r1 = binornd(n,1./n)

r1 =

2     1     0     1     1     2

>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])

r2 =

0     1     2     1     3     1

4.1.2  正态分布的随机数据的产生

命令  参数为μ、σ的正态分布的随机数据

函数  normrnd

格式  R = normrnd(MU,SIGMA)   %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。

R = normrnd(MU,SIGMA,m)  %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = normrnd(MU,SIGMA,m,n)   %m,n分别表示R的行数和列数

例4-2

>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))

n1 =

2.1650    2.3134    3.0250    4.0879    4.8607    6.2827

>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])

n2 =

0.0591    1.7971    0.2641    0.8717   -1.4462

>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3)   %mu为均值矩阵

n3 =

0.9299    1.9361    2.9640

4.1246    5.0577    5.9864

>> R=normrnd(10,0.5,[2,3])   %mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数

R =

9.7837   10.0627    9.4268

9.1672   10.1438   10.5955

4.1.3  常见分布的随机数产生

常见分布的随机数的使用格式与上面相同

表4-1  随机数产生函数表

函数名

调用形式

注      释

Unifrnd

unifrnd ( A,B,m,n)

[A,B]上均匀分布(连续) 随机数

Unidrnd

unidrnd(N,m,n)

均匀分布(离散)随机数

Exprnd

exprnd(Lambda,m,n)

参数为Lambda的指数分布随机数

Normrnd

normrnd(MU,SIGMA,m,n)

参数为MU，SIGMA的正态分布随机数

chi2rnd

chi2rnd(N,m,n)

自由度为N的卡方分布随机数

Trnd

trnd(N,m,n)

自由度为N的t分布随机数

Frnd

frnd(N1, N2,m,n)

第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数

gamrnd

gamrnd(A, B,m,n)

参数为A, B的分布随机数

betarnd

betarnd(A, B,m,n)

参数为A, B的分布随机数

lognrnd

lognrnd(MU, SIGMA,m,n)

参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数

nbinrnd

nbinrnd(R, P,m,n)

参数为R，P的负二项式分布随机数

ncfrnd

ncfrnd(N1, N2, delta,m,n)

参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数

nctrnd

nctrnd(N, delta,m,n)

参数为N，delta的非中心t分布随机数

ncx2rnd

ncx2rnd(N, delta,m,n)

参数为N，delta的非中心卡方分布随机数

raylrnd

raylrnd(B,m,n)

参数为B的瑞利分布随机数

weibrnd

weibrnd(A, B,m,n)

参数为A, B的韦伯分布随机数

binornd

binornd(N,P,m,n)

参数为N, p的二项分布随机数

geornd

geornd(P,m,n)

参数为 p的几何分布随机数

hygernd

hygernd(M,K,N,m,n)

参数为 M，K，N的超几何分布随机数

Poissrnd

poissrnd(Lambda,m,n)

参数为Lambda的泊松分布随机数

4.1.4  通用函数求各分布的随机数据

命令  求指定分布的随机数

函数  random

格式  y = random('name',A1,A2,A3,m,n)   %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列

例4-3 产生12(3行4列)个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数

>> y=random('norm',2,0.3,3,4)

y =

2.3567    2.0524    1.8235    2.0342

1.9887    1.9440    2.6550    2.3200

2.0982    2.2177    1.9591    2.0178

4.2  随机变量的概率密度计算

4.2.1  通用函数计算概率密度函数值

命令  通用函数计算概率密度函数值

函数  pdf

格式  Y=pdf(name，K，A)

Y=pdf(name，K，A，B)

Y=pdf(name，K，A，B，C)

说明  返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。

表4-2常见分布函数表

name的取值

函数说明

'beta'

或

'Beta'

Beta分布

'bino'

或

'Binomial'

二项分布

'chi2'

或

'Chisquare'

卡方分布

'exp'

或

'Exponential'

指数分布

'f'

或

'F'

F分布

'gam'

或

'Gamma'

GAMMA分布

'geo'

或

'Geometric'

几何分布

'hyge'

或

'Hypergeometric'

超几何分布

'logn'

或

'Lognormal'

对数正态分布

'nbin'

或

'Negative Binomial'

负二项式分布

'ncf'

或

'Noncentral F'

非中心F分布

'nct'

或

'Noncentral t'

非中心t分布

'ncx2'

或

'Noncentral Chi-square'

非中心卡方分布

'norm'

或

'Normal'

正态分布

'poiss'

或

'Poisson'

泊松分布

'rayl'

或

'Rayleigh'

瑞利分布

't'

或

'T'

T分布

'unif'

或

'Uniform'

均匀分布

'unid'

或

'Discrete Uniform'

离散均匀分布

'weib'

或

'Weibull'

Weibull分布

例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)

例4-4 计算正态分布N(0，1)的随机变量X在点0.6578的密度函数值。

解：>> pdf('norm',0.6578,0,1)

ans =

0.3213

例4-5  自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。

解：>> pdf('chi2',2.18,8)

ans =

0.0363

4.2.2  专用函数计算概率密度函数值

命令  二项分布的概率值

函数  binopdf

格式  binopdf (k, n, p)   %等同于， p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数

命令  泊松分布的概率值

函数  poisspdf

格式  poisspdf(k, Lambda)   %等同于

命令  正态分布的概率值

函数  normpdf(K,mu,sigma)   %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值

专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。

表4-3专用函数计算概率密度函数表

函数名

调用形式

注         释

Unifpdf

unifpdf (x, a, b)

[a,b]上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值

unidpdf

Unidpdf(x,n)

均匀分布(离散)概率密度函数值

Exppdf

exppdf(x, Lambda)

参数为Lambda的指数分布概率密度函数值

normpdf

normpdf(x, mu, sigma)

参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值

chi2pdf

chi2pdf(x, n)

自由度为n的卡方分布概率密度函数值

Tpdf

tpdf(x, n)

自由度为n的t分布概率密度函数值

Fpdf

fpdf(x, n1, n2)

第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值

gampdf

gampdf(x, a, b)

参数为a, b的分布概率密度函数值

betapdf

betapdf(x, a, b)

参数为a, b的分布概率密度函数值

lognpdf

lognpdf(x, mu, sigma)

参数为mu, sigma的对数正态分布概率密度函数值

nbinpdf

nbinpdf(x, R, P)

参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值

Ncfpdf

ncfpdf(x, n1, n2, delta)

参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值

Nctpdf

nctpdf(x, n, delta)

参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值

ncx2pdf

ncx2pdf(x, n, delta)

参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值

raylpdf

raylpdf(x, b)

参数为b的瑞利分布概率密度函数值

weibpdf

weibpdf(x, a, b)

参数为a, b的韦伯分布概率密度函数值

binopdf

binopdf(x,n,p)

参数为n, p的二项分布的概率密度函数值

geopdf

geopdf(x,p)

参数为 p的几何分布的概率密度函数值

hygepdf

hygepdf(x,M,K,N)

参数为 M，K，N的超几何分布的概率密度函数值

poisspdf

poisspdf(x,Lambda)

参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值

例4-6 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形

>> x=0:0.1:30;

>> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':')

>> hold on

>> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')

>> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')

>> axis([0,30,0,0.2])    %指定显示的图形区域

则图形为图4-1。

4.2.3  常见分布的密度函数作图

1．二项分布

例4-7

>>x = 0:10;

>>y = binopdf(x,10,0.5);

>>plot(x,y,'+')

2．卡方分布

例4-8

>> x = 0:0.2:15;

>>y = chi2pdf(x,4);

>>plot(x,y)

 

图4-2

3．非中心卡方分布

例4-9

>>x = (0:0.1:10)';

>>p1 = ncx2pdf(x,4,2);

>>p = chi2pdf(x,4);

>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')

4．指数分布

例4-10

>>x = 0:0.1:10;

>>y = exppdf(x,2);

>>plot(x,y)

         

图4-3

5．F分布

例4-11

>>x = 0:0.01:10;

>>y = fpdf(x,5,3);

>>plot(x,y)

6．非中心F分布

例4-12

>>x = (0.01:0.1:10.01)';

>>p1 = ncfpdf(x,5,20,10);

>>p  = fpdf(x,5,20);

>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')

      

图4-4

7．Γ分布

例4-13

>>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);

>>y = gampdf(x,100,10);

>>y1 = normpdf(x,1000,100);

>>plot(x,y,'-',x,y1,'-.')

8．对数正态分布

例4-14

>>x = (10:1000:125010)';

>>y = lognpdf(x,log(20000),1.0);

>>plot(x,y)

>>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000])

>>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',…

'$90,000','$120,000'))

  

图4-5

9．负二项分布

例4-15

>>x = (0:10);

>>y = nbinpdf(x,3,0.5);

>>plot(x,y,'+')

10．正态分布

例4-16

>> x=-3:0.2:3;

>> y=normpdf(x,0,1);

>> plot(x,y)

  

图4-6

11．泊松分布

例4-17

>>x = 0:15;

>>y = poisspdf(x,5);

>>plot(x,y,'+')

12．瑞利分布

例4-18

>>x = [0:0.01:2];

>>p = raylpdf(x,0.5);

>>plot(x,p)

 

图4-7

13．T分布

例4-19

>>x = -5:0.1:5;

>>y = tpdf(x,5);

>>z = normpdf(x,0,1);

>>plot(x,y,'-',x,z,'-.')

14．威布尔分布

例4-20

>> t=0:0.1:3;

>> y=weibpdf(t,2,2);

>> plot(y)

 

图4-8

4.3  随机变量的累积概率值(分布函数值)

4.3.1  通用函数计算累积概率值

命令  通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和(累积概率值)

函数  cdf

格式

cdf('name',K,A)

cdf('name',K,A,B)

cdf('name',K,A,B,C)

说明  返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1常见分布函数表

例4-21 求标准正态分布随机变量X落在区间(-∞，0.4)内的概率(该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表)。

解：

>> cdf('norm',0.4,0,1)

ans =

0.6554

例4-22 求自由度为16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率

>> cdf('chi2',6.91,16)

ans =

0.0250

4.3.2  专用函数计算累积概率值(随机变量的概率之和)

命令  二项分布的累积概率值

函数  binocdf

格式  binocdf (k, n, p)   %n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。

命令  正态分布的累积概率值

函数  normcdf

格式  normcdf()   %返回F(x)=的值，mu、sigma为正态分布的两个参数

例4-23  设X~N(3, 22)

(1)求

(2)确定c，使得

解(1)p1=

p2=

p3=

p4=

则有：

>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)

p1 =

0.5328

>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)

p2 =

0.9995

>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)

p3 =

0.6853

>>p4=1-normcdf(3,3,2)

p4 =

0.5000

专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。

表4-4专用函数的累积概率值函数表

函数名

调用形式

注           释

unifcdf

unifcdf (x, a, b)

[a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

unidcdf

unidcdf(x,n)

均匀分布(离散)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

expcdf

expcdf(x, Lambda)

参数为Lambda的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

normcdf

normcdf(x, mu, sigma)

参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

chi2cdf

chi2cdf(x, n)

自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

tcdf

tcdf(x, n)

自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

fcdf

fcdf(x, n1, n2)

第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值

gamcdf

gamcdf(x, a, b)

参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

betacdf

betacdf(x, a, b)

参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

logncdf

logncdf(x, mu, sigma)

参数为mu, sigma的对数正态分布累积分布函数值

nbincdf

nbincdf(x, R, P)

参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

ncfcdf

ncfcdf(x, n1, n2, delta)

参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值

nctcdf

nctcdf(x, n, delta)

参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

ncx2cdf

ncx2cdf(x, n, delta)

参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值

raylcdf

raylcdf(x, b)

参数为b的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

weibcdf

weibcdf(x, a, b)

参数为a, b的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

binocdf

binocdf(x,n,p)

参数为n, p的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

geocdf

geocdf(x,p)

参数为 p的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

hygecdf

hygecdf(x,M,K,N)

参数为 M，K，N的超几何分布的累积分布函数值

poisscdf

poisscdf(x,Lambda)

参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

说明  累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x处的值。

4.4  随机变量的逆累积分布函数

MATLAB中的逆累积分布函数是已知，求x。

逆累积分布函数值的计算有两种方法

4.4.1  通用函数计算逆累积分布函数值

命令  icdf  计算逆累积分布函数

格式  icdf('name',P,a1,a2,a3)

说明  返回分布为name，参数为，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表4.1相同。

如果，则

例4-24 在标准正态分布表中，若已知=0.975，求x

解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1)

x =

1.9600

例4-25 在分布表中，若自由度为10，=0.975，求临界值Lambda。

解：因为表中给出的值满足，而逆累积分布函数icdf求满足的临界值。所以，这里的取为0.025，即

>> Lambda=icdf('chi2',0.025,10)

Lambda =

3.2470

例4-26  在假设检验中，求临界值问题：

已知：，查自由度为10的双边界检验t分布临界值

>>lambda=icdf('t',0.025,10)

lambda =

-2.2281

4.4.2  专用函数-inv计算逆累积分布函数

命令  正态分布逆累积分布函数

函数  norminv

格式  X=norminv(p,mu,sigma)   %p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=P{X≤x}。

例4-27 设，确定c使得。

解：由得，=0.5，所以

>>X=norminv(0.5, 3, 2)

X=

3

关于常用临界值函数可查下表4-5。

表4-5  常用临界值函数表

函数名

调用形式

注         释

unifinv

x=unifinv (p, a, b)

均匀分布(连续)逆累积分布函数(P=P{X≤x}，求x)

unidinv

x=unidinv (p,n)

均匀分布(离散)逆累积分布函数，x为临界值

expinv

x=expinv (p, Lambda)

指数分布逆累积分布函数

norminv

x=Norminv(x,mu,sigma)

正态分布逆累积分布函数

chi2inv

x=chi2inv (x, n)

卡方分布逆累积分布函数

tinv

x=tinv (x, n)

t分布累积分布函数

finv

x=finv (x, n1, n2)

F分布逆累积分布函数

gaminv

x=gaminv (x, a, b)

分布逆累积分布函数

betainv

x=betainv (x, a, b)

分布逆累积分布函数

logninv

x=logninv (x, mu, sigma)

对数正态分布逆累积分布函数

nbininv

x=nbininv (x, R, P)

负二项式分布逆累积分布函数

ncfinv

x=ncfinv (x, n1, n2, delta)

非中心F分布逆累积分布函数

nctinv

x=nctinv (x, n, delta)

非中心t分布逆累积分布函数

ncx2inv

x=ncx2inv (x, n, delta)

非中心卡方分布逆累积分布函数

raylinv

x=raylinv (x, b)

瑞利分布逆累积分布函数

weibinv

x=weibinv (x, a, b)

韦伯分布逆累积分布函数

binoinv

x=binoinv (x,n,p)

二项分布的逆累积分布函数

geoinv

x=geoinv (x,p)

几何分布的逆累积分布函数

hygeinv

x=hygeinv (x,M,K,N)

超几何分布的逆累积分布函数

poissinv

x=poissinv (x,Lambda)

泊松分布的逆累积分布函数

例4-28  公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X(单位：cm)服从正态分布N(175，36)，求车门的最低高度。

解：设h为车门高度，X为身高

求满足条件的h，即，所以

>>h=norminv(0.99, 175, 6)

h =

188.9581

例4-29  卡方分布的逆累积分布函数的应用

在MATLAB的编辑器下建立M文件如下：

n=5; a=0.9;   %n为自由度，a为置信水平或累积概率

x_a=chi2inv(a,n)；%x_a 为临界值

x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)；  %计算的概率密度函数值，供绘图用

plot(x,yd_c,'b'), hold on   %绘密度函数图形

xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)；   %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用

fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g')   %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭

text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a))   %标注临界值点

text(10,0.10, ['fontsize{16}X~{chi}^2(4)'])

%图中标注

text(1.5,0.05, 'fontsize{22}alpha=0.9' )   %图中标注

结果显示如图4-9。