数字电路基础（一）数制与码制

一、十进制数

在生活中最常用的是十进制计数。用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数来表示，这十个数字符号称为数码。十进制数的特点是逢十进一，同一个数码在不同位置（数位）所代表的数值不同。例如，对于6666.66而言，小数点左边第一个为个位，其含义是$6\times 10^0$；小数点左边第二个为十位，其含义是$6\times 10^1$；小数点右边第一个6所代表的含义为$6\times 10^{-1}$。以此类推，可以知道每一个数位所代表的数值大小，最后取它们的和即是这个数代表的数值。也就是:

$6666.66$ = $6\times 10^3$ + $6\times 10^2$ + $6\times 10^1$ + $6\times 10^0$ + $6\times 10^{-1}$+$6\times 10^{-2}$

式中的所有的6被称为系数，10³，10²，10¹，10⁰，10^-1，10^-2 称为每位数对应的权。

故推广至任意十进制数 $M_{10}$可以表示为：

$M_{10}$=$a_{n-1}$$\times$$10^{n-1}$+$a_{n-2}$$\times$$10^{n-2}$+···+$a_1$$\times$$10^1$+$a_0$$\times$$10^0$+$a_{-1}$$\times$$10^{-1}$+$a_{-2}$$\times$$10^{-2}$+···+$a_{-m}$$\times$$10^{-m}$
  =${\sum }_{i=-m}^{n-1}{a}_i\times 10^i$

这即是十进制数的本质。

二、二进制数

我们可以从十进制数中获取灵感，将它进一步扩充至二进制，二进制也是数字电路中最常见的数制，在整个数字电路中有着至关重要的作用。
二进制使用0和1来作为数码，每逢二则进位，若将十进制数的$M_{10}$展开式中的权由10变为2，即得到了二进制的值$M_2$。

$M_2$=$a_{n-1}$$\times$$2^{n-1}$+$a_{n-2}$$\times$$2^{n-2}$+···+$a_1$$\times$$2^1$+$a_0$$\times$$2^0$+$a_{-1}$$\times$$2^{-1}$+$a_{-2}$$\times$$2^{-2}$+···+$a_{-m}$$\times$$2^{-m}$
  =${\sum }_{i=-m}^{n-1}{a}_i\times 2^i$

抛开冗长的公式，类比十进制去理解二进制。
十进制在个位数字的意义即是“有多少个‘1’在这个数中”，而十位数的意义即是“有多少个‘10’在这个数中”……，最后再将它们相加，即是这个数所代表的值。所以，二进制小数点左边第一位的意义即为“有多少个‘2’在这个数中”，小数点左边第二位的意义即为“有多少个‘4’在这个数中”……，最后再将它们相加，即是这个数所代表的值，前面的系数也就是这个数的二进制表达形式。

三、其他数制

常用的其他数制还有八进制、十六进制等，其本质与上面描述的方式没有什么不同。唯一需要值得清楚的是在十六进制中，除了0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之外，剩余的六个数码是用A,B,C,D,E,F来表示的。其中A表示十进制数的10，B表示十进制数的11……

四、数制之间的转换

1.二进制数与十进制数的相互转换

（1）二进制转换为十进制

在之前的原理解释中我们提到了一个二进制数的值，是将这个数的系数乘以对应的权得到的结果，那么根据这个思路，我们可以通过计算加权系数之和的方式求得结果。
例如：

$M_2$=$(11011.101{)}_2$=$1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$
  =$(27.625{)}_{10}$

（2）十进制转换为二进制

a.整数部分

整数部分的转换使用的是除二取余法。首先我将说明除二取余法的原理是什么。

$M_2$=$a_{n-1}$$\times$$2^{n-1}$+$a_{n-2}$$\times$$2^{n-2}$+···+$a_1$$\times$$2^1$+$a_0$$\times$$2^0$+$a_{-1}$$\times$$2^{-1}$+$a_{-2}$$\times$$2^{-2}$+···+$a_{-m}$$\times$$2^{-m}$

根据二进制数的系数加权式，我们不难发现在上述多项式中每一项都存在一个$2^n$。而$n$的值是从0开始的，多项式的系数只有两种可能的取值，即“0”和“1”。假设我们将这个多项式直接除以2，直接受到影响的是含有$2^0$的项，这将会有两种可能的结果，一是它前面的系数为0，则可以被2整除，故余数为0；二是它前面的系数为1，无法被2整除，故余数为1。我们可以发现余数和它前面的系数是完全一致的。
第一次运算之后发现提取出了$a_0$的值，而剩下的商由于整体的除以2操作降幂，原来的$2^1$变为$2^0$……以此类推，则又回到了第一次运算时的情况，此时我们只需要重复上述步骤即可。
直到商为0时，这也意味着整个数剩下的部分已经等于0，也就是全部被处理完毕。至此我们以此得到的余数分别为$a_0$，$a_1$，$a_2$，……，$a_n$。此时只需将这些数倒叙排列即得到了十进制数的表示。

b.小数部分

有了对整数部分分析的经验，我们也可以轻松理解小数部分的处理方式。
由于小数部分的幂指数都是负数，我们可以每次对小数部分进行乘2操作，$2^{-1}$会变为$2^0$……。同样也会有两种可能的结果，一是乘积后的个位为1，这意味着$2^{-1}$(现在已变为$2^0$)前的系数为1；二是乘积后的个位为0，这意味着$2^{-1}$(现在已变为$2^0$)前的系数为0。
第一次运算后我们得到了$a_{-1}$的值，以此类推。
直至积为1时，这意味着我们小数部分的内容已经全部处理完毕。我们以此得到$a_{-1}$，$a_{-2}$，$a_{-3}$，……，$a_{-n}$的值。至此，我们得到了小数部分的结果。

2.其他数制的相互转换

（1）二进制数与八进制数之间的转换

a.二进制数转换为八进制数

我们知道，$2^3=8$,故有八个数码的数值用二进制表示至少需要3位，故每三位二进制数才可能表示一位八进制数，故只需要从小数点两端开始，每三位分为一组，分别将它们用转换为十进制的方法进行转换，如果不足三位则在尾部补0，得到的结果即为对应的八进制数。
例如：
101 011 011 . 110 101 110
 5  3  3 . 6 5 6
也就是$(101011011.110101110{)}_2=(533.656{)}_8$

b.八进制数转换为二进制数

同样地，将每一个数分别转换为对应的二进制数，再依次写出即可。可以理解为上述过程的逆过程。

（2）二进制数与十六进制之间的转换

a.二进制数转换为十六进制数

与转换八进制类似地，$2^4=16$,故有十六个数码的数值用二进制表示至少需要4位，故每四位二进制数才可能表示一位十六进制数，故只需要从小数点两端开始，每四位分为一组，分别将它们用转换为十进制的方法进行转换，如果不足四位则在尾部补0，得到的结果即为对应的十六进制数。
例如：
0110 1110 . 1101 1100
 6  E  . D  C
也就是$(1101110.1101110{)}_2=(6E.DC{)}_{16}$

b.十六进制数转换为二进制数

同样地，将每一个数分别转换为对应的二进制数，再依次写出即可。可以理解为上述过程的逆过程。

五、常用编码

1.二-十进制编码（BCD码）

（1）8421码

8421码是使用最多的一种BCD码，一种有权码。从最高有效位开始到最低有效位的权分别为8,4,2,1。如果把每一个代码都看成是一个4位二进制数，那么8421码的值等于它所代表的的十进制数的值。

（2）余三码

余三码，余出的3表示余三码所代表的4位二进制数比对应的十进制数多3。
下表展示了十进制数、8421码和余三码之间的关系

2.循环码

循环码的特点是相邻个编码之间只有一位取值不同。下表可以看出它被称为循环码的原因。

可以看出从右边开始第一位的循环是0110，第二位的循环是00111100，第三位的循环是0000111111110000，第四位的循环是0000000011111111.

2022/5/4初稿

参考资料
[1] 李景宏,王永军等.数字逻辑与数字系统(第五版).北京:电子工业出版社,2017.

最后

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