数据结构 严蔚敏 第六章 图 期末复习总结

第六章 图

1. 无向图；有向图；稀疏图；稠密图；网（边/弧带权的图）

2. 完全图：完全无向图（边：n(n-1)/2 ）；完全有向图（边：n(n-1) ）

3. 无向图：所有顶点度数和=边数*2

   有向图：所有顶点出度和=入度和=边数

4. 路径长度；回路；简单回路

5. 连通图

无向图：连通图；极大连通子图（连通分量）

有向图：强连通图；极大强连通子图（强连通分量）

6. 极小连通子图：子图是G 的连通子图，在该子图中删除任何一条边，子图不再连通。

生成树：包含无向图G 所有顶点的极小连通子图

生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

7. 图的存储结构：顺序存储结构；链式存储结构

8. 顺序存储结构：邻接矩阵表示法（数组表示法）

  链式存储结构：邻接表表示法（逆邻接表法）；十字链表；邻接多重表

9. 邻接矩阵表示法

邻接矩阵表示法的特点

优点：容易实现以下操作：

      求某顶点的度；判断顶点之间是否有边；找顶点的邻接点等等。

缺点：对稀疏图而言尤其浪费空间。n个顶点需要n*n个单元存储边;空间效率为O(n^2)。

10. 基于邻接矩阵表示法创建无向网

11. 邻接表表示法

无向图的邻接表表示：空间效率为O(n+2e)

有向图的邻接表表示：空间效率为O(n+e)

12. 图的遍历：深度优先搜索/遍历(DFS)；广度优先搜索/遍历(BFS)

13. 深度优先搜索/遍历

DFS算法效率分析

邻接矩阵：时间复杂度为O(n^2)    ;   邻接表：时间复杂度为O(n+e)

14. 广度优先搜索/遍历

BFS算法效率分析

邻接矩阵：时间复杂度为O(n^2)  ;  邻接表：时间复杂度为O(n+e)

15. 一个连通图的生成树可能不唯一，由不同的遍历次序、从不同顶点出发进行遍历都会得到不同的生成树。

16. 最小生成树：在图G所有生成树中，代价（各边权值之和）最小的生成树称为最小生成树。

17. 给定一个无向网，构造最小生成树的准则：

只使用该网中的边来构造最小生成树

使用且仅使用n-1条边来联结网络中的n个顶点

不能使用产生回路的边

18. 求最小生成树算法：

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法：归并边，适于稀疏网；时间复杂度O(eloge)；

存储表示：邻接表

操作过程：

（1）将边全部提取出来放入一个列表中，从权重小到大依次排序；

（2）将最小权重的边放入图中与对应的顶点相连；

（3）要确保边填入后不能形成环，如果形成环就丢弃这条边；

（4）知道加入了（n-1）条边最小生成树构造完成。（n是树中顶点的数量）

Prim（普里姆）算法：归并顶点，与边数无关，适于稠密网；

时间复杂度O(n^2)；存储表示：邻接矩阵

操作过程：

（1）从顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点加入到生成树的顶点集合U中；

（2）每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点加入到U中；

（3）直到所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。

19. 两种常见的最短路径问题

单源最短路径：一顶点到其余各顶点

              Dijkstra（迪杰斯特拉）算法：时间复杂度：O(n^2)

所有顶点间的最短路径：任意两顶点之间

                      Floyd（弗洛伊德）算法

20. 有向无环图及其应用：拓扑排序（AOV网）；关键路径（AOE网）

21. 拓扑排序：AOV网（顶点表示活动的网）

AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的网，简称AOV网。

拓扑排序算法核心思想：重复选择没有直接前驱的顶点

应用：大学的课程之间存在先修关系，利用拓扑排序可以正确安排课程；

         一本教材的内容之间可能存在前后关系，利用拓扑排序可使教材逻辑性强，易于理解。

         房屋装修工程。

22. 拓扑排序实现：

（1）图的存储结构：采用邻接表存储 ，在顶点表中增加一个入度域。

（2）栈S：存储所有无前驱的顶点。

23. AOE网（边表示活动的网络）

AOE网：是一个带权的有向无环图，其中顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。

应用：AOE网可用来估算工程的完成时间

关键路径：路径长度（权之和）最长的路径叫关键路径

关键路径长度是整个工程所需的最短工期。

24. 事件vj的最早发生时间Ve(j)：这个长度决定了所有从顶点vj发出的活动能够开工的最早时间。

    事件vi的最迟发生时间Vl(i)：Vl(i)指在不推迟整个工期的前提下,事件vi允许的最晚发生时间。

活动as的最早开始时间e(s)：若该活动在弧<vi, vj>上，则活动as的最早开始时间应等于事件vi的最早发生时间

    活动as的最迟开始时间l(s)：在不推迟整个工程完成的前提下，该活动最迟必须开始进行的时间。

关键活动：

小结

最后

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