微分方程建模Matlab代码总结**

1.常微分方程求解的几种常用代码

Model 1

dy/dt=f(t,y)
y(t)|t=t0=y0
采用Matlab代码dsolve，ode23，ode45求解

1.代码及对应方法

2.实例

1.问题1

1.求解常微分方程

x*y’’-3 * y’ = x^2,y(1)=0,y(5)=0;

2.代码

%dsolve
syms y(x)
eqn = x * diff(y,x,2) -3 * diff(y,x) == x*x;
tip1=y(1)==0;
tip2=y(5)==0;
tip=[tip1,tip2];
dsolve(eqn,tip);

%top.m
function dy=odefun(x,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=(3*dy(1))/x+x;
end

%ode23
tspan=[1 5];
y0=[0 0];
[x,y]=ode23(@odefun,tspan,y0);
plot(x,y(:,1),'-o',x,y(:,2),'-*')

%ode45
tspan=[1 5];
y0=[0 0];
[x,y]=ode45(@odefun,tspan,y0);
plot(x,y(:,1),'-o',x,y(:,2),'-*')

3.运行结果

%dsolve
ans =
 
(31*x^4)/468 - x^3/3 + 125/468

​ ode23

​ ode45

2.问题2

1.求解

y’’ = cos(2x) – y , y(0) = 1 , y’(0) = 0;

2.代码

%dsolve
syms y(x)
eqn = diff(y,x,2) == cos(2*x) - y;
tip0 = diff(y,x);
tip1=y(0)==1;
tip2 = tip0(0) == 0;
tip = [tip1 , tip2];
F(x) = dsolve(eqn,tip);
F(x)

%top.m
function dy=top(x,y)
dy=[cos(2*x)-y];
end

%ode23
tspan=[1 5];
y0=[1;0];
[x,y]=ode23(@top,tspan,y0);
plot(x,y(:,1),'-o',x,y(:,2),'-*')

%ode45
tspan=[1 5];
y0=[1;0];
[x,y]=ode45(@top,tspan,y0);
plot(x,y(:,1),'-o',x,y(:,2),'-*')

3.结果

%dsolve
ans =
 
(5*cos(x))/3 + sin(x)*(sin(3*x)/6 + sin(x)/2) - (2*cos(x)*(6*tan(x/2)^2 - 3*tan(x/2)^4 + 1))/(3*(tan(x/2)^2 + 1)^3)

​ ode23

​ ode45

3.结果分析

通过三个库函数计算常微分方程发现，精度方法ode45，较高，相比速度 方法dsolve最快。

因此后期可以尝试采用方法*求解常微分模型定解问题

2.偏微分方程求解

偏微分方程分为 椭圆型、抛物型、双曲型，在matlab 有微分方程工具箱 （pdetool），这里简单学习pdetool的使用

1.pdetool的使用

1. 在命令行输入pdetool，就会弹出相应的界面
2. PDE图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮
3. 定义 PDE 问题，其包含三大部份
   1. 利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω
   2. 利用 boundary 模式，指定边界条件
   3. 利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数
4. 在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
   1. 在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化
   2. 在 solve 模式下，求解
   3. 最后，在 Plot 模式下，显示答案

2.同轴电缆（已知电荷密度）为例

​ 1.绘图

​ 2.设置参数

将问题类型设置为Electrostatics

​ 3.设置边界条件

​ 4.将原问题离散化

​ 5.求解

​ 6.显示答案(画出等势线)

最后

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