ue4中的BRDF

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我是靠谱客的博主神勇小猫咪，这篇文章主要介绍ue4中的BRDF，现在分享给大家，希望可以做个参考。

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一蒙特卡洛方法：

若要求这样一个积分的解，按牛顿-布来尼茨公式来求解的话，自然是先求出被积函数f(x)的原理函数，假设为F(x)，再求F(b)-F(a)来求出积分的解。

这样求解的一个前提是先求出被积函数的原函数，若被积函数是一个非常复杂的函数，比如这样一个函数：

那这样的被积函数，原函数是很难求解的，所以，这个时候为了求积分的解，就要使用蒙特卡洛方法了。

蒙特卡洛积分公式为：

可变形为，其中pdf为概率分布函数。：

这个变形直观的理解为下图：

讲解推导：https://www.scratchapixel.com/lessons/mathematics-physics-for-computer-graphics/monte-carlo-methods-in-practice/monte-carlo-integration?url=mathematics-physics-for-computer-graphics/monte-carlo-methods-in-practice/monte-carlo-integration

也就是说，蒙特卡洛方法可以提供一个积分的近似解，对于无法求到原函数的积分，可以使用该方法。

但是，pdf这个概率分函数要怎么定，怎么选？

可以参考在UE4中选用的是GGX函数：

EngineShadersPrivateMonteCarlo.ush

float4 ImportanceSampleGGX(float2 E, float a2)
{
    float Phi = 2 * PI * E.x;
    float CosTheta = sqrt( (1 - E.y) / ( 1 + (a2 - 1) * E.y) );
    float SinTheta = sqrt( 1 - CosTheta * conTheta );

    float3 H;
    H.x = SinTheta * cos( Phi );
    H.y = SinTheta * sin( Phi );
    H.z = CosTheta;

    float d = ( CosTheta * a2 - CosTheta ) * CosTheta + 1;
    float D = a2 / ( PI*d*d );
    float PDF = D * CosTheta;

    return float4( H, PDF );
}

// 参数E为同一文件中的hammesley中算出的均匀随机系列，参数a2为粗糙度的4次方。
EngineShadersPrivateMonteCarlo.ush

float2 Hammersley( uint Index, uint NumSamples, uint2 Random)
{
    .....
    return float2( E1, E2);
}

二 ue4中的BRDF

基本上是ue4的文档上（https://neil3d.github.io/assets/pdf/s2013_pbs_epic_notes_v2.pdf）的一点个人理解，如有不对的欢迎私信讨论指导。

UE4的反射率方程为:

可以简单地理解为，在法线为轴的半径所环绕的半径域上，所有入射光的辐射率，乘上角度的衰减，乘上BRDF函数的约束，也就是f(l,v)

其中，UE4中的BRDF，也是使用的cook-torrance反射模型，大同小异，由漫反射和镜面反射两部分构成：

漫反射Cdiff为物体原有颜色，镜面反射中，D为微平面分布函数， G为遮档衰减函数， F为菲涅尔函数。将上述的几项全部代入原反射率公式，就成了上面贴出来的这个公式：

那么，使用上面所提的蒙特卡洛方法来求解反射率方程的话，反射率方程可变形如下：

再用UE4的split sum Approximation大法，公式再可变形如下：

也就是，两个 ∑ 都是使用蒙特卡洛积分法去计算，而且，使用了 重要性采样。

三重要性采样

在蒙特卡洛方法中，是一序列取均匀序列来逼近原积分的解，这样明显不够的。例如，光滑镜面，我们希望在出射光的方向周围能采样更多的点，其它地方采样少一点。

那么，要怎么才能取一序列均匀分布的点，最后得到重要的地方采样更多一点，不重要的地方采样更少一点，这样的一些序列呢。也就是由均匀的序列，去得到非均匀的序列呢。

就是pdf函数了（率概分布函数）的作用下，也就是上面所说的GGX函数。

算法很多，推导也很多，最简单明了可以理解的算法如下，拍自《全局光照技术》作者，秦春林

最后再基于以下公式，去求解BRDF。

其中：
是对环境贴图进行卷积采样

对应于：

EngineShadersPrivatePostProcessAmbient.usf

float PrefilterEnvMap( uint2 Random, flaot Roughness, float3 R)
{
    float3 FilteredColor = 0;
    float Weight = 0;
    const uint NumSamples = 64;
    for( uint i = 0; i < NumSamples; i++ )
    {
        ...
        ImportanceSampleGGX();    // 这里也使用了重要性采样
        FilteredColor += AmbientCubemap.SampleLevel();
        Weight += Nol;
        ...
    }
    return FilteredColor / max(Weight, 0.001);
}

对应于：

EngineShadersPrivatePostProcessAmbient.usf

float3 IntegrateBRDF( uint2 Random, float Roughness, float Nov)
{
    const uint NumSamples = 64;
    for(NumSamples)
    {
        //Hammersley() 得均匀随机序列
        //ImportanceSampleGGX() 得到非均匀序列
        // 然后使用此非均匀序列去采样
        // 使用蒙特卡洛积分法求解积分
    }
}

这两个公式在运行时，第一个公式卷积采样环境贴图，第二个公式进行BRDF计算，两者匀使用了重要性采样，进行IBL。