15.5 最优二叉搜索树（笔记）背景定义相关公式相关算法

背景

假定我们正在设计一个程序，实现英语文本到中文的翻译。对英语文本中出现的每个单词，我们需要查找对应的中文。为了实现这些操作，我们可以创建一个二叉搜索树，将n个英语单词作为关键字，对应的中文作为关联数据。

定义

给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=<k1,k2,…,kn>，我们希望用这些关键字构造一颗二叉搜索树。对每个关键字ki，都有一个概率pi表示其搜索频率。有些要搜索的值可能不在K中，因此我们还有n+1个“伪关键字”d0,d1,d2,…dn表示不在K中的值。d0表示所有小于k1的值，dn表示所有大于kn的值，对i=1,2…,n-1，伪关键字di表示所有在ki和ki+1之间的值。对每个伪关键字di，也都有一个概率qi表示对应的搜索频率。

相关公式

基本公式

频率之和为1：
${\sum }_{i=1}^n{p}_i+{\sum }_{i=0}^n{q}_i=1$ (15.10)

E[T中的搜索代价]：
$={\sum }_{i=1}^n(dept{h}_T(k_i)+1)\cdot p_i+{\sum }_{i=0}^n(dept{h}_T(d_i)+1)\cdot q_i$
$=1+{\sum }_{i=1}^{n}dept{h}_T(k_i)\cdot p_i+{\sum }_{i=0}^{n}dept{h}_T(d_i)\cdot q_i$ (15.11)

拓展公式

当我们选取子问题域为：求解包含关键字ki,…,kj的最优二叉搜索树，其中i>=1,j<=n且j>=i-1(当j=i-1时，子树不包含实际关键字，只包含伪关键字d_i-1)。定义e[ i, j]为在包含关键字ki,…,kj的最优二叉搜索树中进行一次搜索的期望代价。最终，我们希望计算出e[ 1, n]。有如下公式：

对于包含关键字ki,…,kj的子树，所有概率之和为：
$w(i,j)={\sum }_{l=i}^j{p}_l+{\sum }_{l=i-1}^j{q}_l$ (15.12)

若kr为包含关键字ki,…,kj的最优二叉搜索树的根节点，我们有如下公式：
$e[i,j]=p_r+(e[i,r-1]+w(i,r-1))+(e[r+1,j]+w(r+1,j))$

注意
$w(i,j)=w(i,r-1)+p_r+w(r+1,j)$

因此e[i, j]可重写为：
$e[i,j]=e[i,r-1]+e[r+1,j]+w(i,j)$ (15.13)

递归公式(15.13)假定我们知道哪个节点k应该作为根节点。如果选取期望搜索代价最低者作为根节点，可得最终递归公式：
$e[i,j]=q_{i-1}$ ，若 j = i - 1
$= min_{ileq rleq j}left{ e[i,r-1]+e[r+1,j]+w(i,j)right} $ ，若i<=j (15.14)
为了避免重新计算w(i,j)，对于 j>=i 的情况，可如下计算:
$w[i,j]=w[i,j-1]+p_j+q_j$ (15.15)

相关算法

应用动态规划的算法optimalBST

伪代码
下面的伪代码接受概率列表 p1,…,pn 和 q0,…,qn 及规模 n 作为输入，返回表 e 和 root。

optimalBST(p,q,n)
  let e[1..n+1,0..n],w[1..n+1,0..n],and root[1..n,1..n]be new tables
  for i=1 to n+1
    e[i,i-1] = q[i-1]
    w[i,i-1] = q[i-1]
  for l=1 to n
    for i=1 to n-l+1
      j = i+l-1
      e[i,j] = MAX_INT
      w[i,j] = w[i,j-1]+p[j]+q[j]
      for r=i to j
        t = e[i,r-1]+e[r+1,j]+w[i,j]
        if t<e[i,j]
          e[i,j] = t
          root[i,j] = r
return e and root

最后

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