算法-作业6-选第k小元素：特定分治策略

1.问题

在给出的n个数中，找到第k小的数。

2.解析

以S中的某个元素m作为划分标准，将S划分为两个子数组S1和S2，把这个数组中比m小的都放入S1的数组中，数组S1的元素个数是|S1|个；把这个数组中比m*大的都放入S2的数组中，数组S2的元素个数是|S2|个。

• 若k<|S1|，则原问题归纳为在数组S1中找第k小的子问题。
• 若k=|S1|+1，则m*就是要找的第k小元素。
• 若k>|S1|+1，则原问题归纳为在数组S2中找第n−|S1|−1小的子问题。

3.设计

• 令q=[p/5]（向下取整）。将A分成q组，每组5个元素。如果5不整除p，则排除剩余元素
• 将q组中的每一组单独排序，找出中项。所有中项的集合为M
• m* ← select(M, 1, q, [q/2]（向上取整）) {m*为中项集合的中项}
• 将A[low…high]分成三组 A1 = {a|a<m*} A2 = {a|a=m*} A3 = {a|a>m*}
• case
  |A1|>=k: return select(A1, 1, |A1|, k)
  |A1|+|A2|>=k: return m*
  |A1|+|A2|<k: return select(A3, 1, |A3|, k-|A1|-|A3|)

4.分析

• 假设n是5的倍数，且n/5是奇数，即n/5=2r+1；所以|A|=|D|=2r，|B|=|C|=3r+2，n=10r+5。
• 若A，D的元素都小于m*，那么它们都加入至S1中，且下一步算法又在这个子问题上递归调用，这对应了归约后子问题的规模的上界，也正好是时间复杂度最坏的情况。类似的，如果A，D的元素都大于m*，也会出现类似的情况。
• 以前者为例时，子问题的大小是：|A|+|C|+|D|=7r+2=7*(n−5)/10 + 2=7*(n/10)−1.5<7*n/10
• 上式表明子问题规模最大不超过原问题的7/10，这个参数7/10就是前文特征(2)中的d。
• 所以最坏情况下的时间复杂度的递推式： W(n)<=W(n/5)+W(7n/10)+tn
• W(n)<=tn+0.9tn+(0.9^2)tn+…=tn(1+0.9+0.92+…)=O(n)

5.源码

github源码 selectK

最后

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