数据结构-树知识点总结（二）期末复习专用

第六章 树的查找和应用

6.1 查找树

概念：中序是排好序的二叉树为查找树

二叉查找法：

#include <stdio.h>

void search(NODE *t,char a,NODE **p_p,NODE **p_q)
{//在查找树t中查找键值为a的结点
	*p_p=NULL;
    *p_q=t;
    if(t==NULL) return ;
    while(*p_q!=NULL)
    {
        if(*p_q->data=a) return;
        *p_p=*p_q;
        if(*p_q->data<a)
            *p_q=*p_q->rchild;
        else
            *p_q=*p_q->lchild;
    }
}

MAX(二叉查找法) =max{1+$\lambda$k}（$\lambda$k为根结点到结点k的树枝长度）

AVG(二叉查找法)=${\sum }_{T中的k}p(k)(1+\lambda$k)

相对使用概率相同时，p(k)为1/n。

int insert(NODE *p_t,char a)
{
    
}

删除结点操作：把该结点左子树根接到该位置，然后把右子树根接到左子树最右结点上。

在查找树中，查找结点的最大查找时间：
最坏情况：树退化成链，O(n)

最好情况：除了最后一层，树满 $O({\log }_{2}n）$

6.2 丰满树

定义：除最后一层外，为满二叉树，最后一层没有要求。

丰满查找树：既是丰满，又是查找。

用平分法构造丰满的二叉树：n个结点排好序，取m=(n-1)/2(下取整，丢小数)Km为根，左边为左子树，右边为右子树，然后递归。

AVG(二叉查找法)=${\log }_{2}n$

n个结点的丰满查找树共有${\log }_{2}n$层，所以MAX(二叉查找法)=${\log }_{2}n$；当退化为线性链表时，MAX(二叉查找法)=n。

6.3 堆和堆排序

堆：拟满树，结点值大于等于左子结点，同时大于等于右子结点。

层次存放数组a[n]中：2i+1<n时有a[i]>=a[2i+1]; 2i+2<n时有a[i]>=a[2i+2]。

先和左子结点值比较，判断是否需要交换，在和右子结点值作比较

void siftdown(int a[],int i,int n)
{
    int j;int t;
    t=a[i];
    while(j=2*i+1<n)
    {
        if(j<n-1&&a[j]<a[j+1]) j++;//左右子结点最大值下标
        if(t<a[j])
        {
            a[i]=a[j];
            i=j;
        }
        else break;
    }
    a[i]=t;
}
//堆排序
void heap_sort(int a[],int n)
{
 	int i;int t;
    for(i=(n-2)/2;i>=0;i--)
        siftdown(a,i,n);//初始建堆
    for(i=n-1;i>0;i--){
        t=a[0];
        a[0]=a[i];
        a[i]=t;
        siftdown(a,0,i);//堆调整
    }
}

堆排序：$O(n{\log }_{2}n)$，是不稳定的。

6.4 平衡树

二叉树高度：h(T)，空的二叉树高度为$-1$；非空，$h(T)=max(h(T_l),h(T_r))+1$。

平衡度：$\beta (k)=h(T_{kr})-h(T_{kl})$.右子树高度减去左子树高度。

平衡树：对二叉树中每个结点:$\mid \beta (k)\mid$$\le 1$.

n个结点的平衡树的树枝的最大长度小于$3/2lo{g}_{2}n$.

平衡查找树：既是平衡树，又是查找树。

1.插入:在查找树中插入新结点

2.定位：从被插入结点k沿树枝向上遍历，如果ki的平衡度为2，则确定改组位置

3.改组：中序遍历，得到序列，然后平分法构造产生新的二叉树

6.5 最佳查找树

一般而言，要考虑查找失败和使用概率不同的情况。

给每个结点添加附加指针，即外部结点，用方框表示，区别于原来的内部结点，用圆圈表示。外部结点共有n+1个，也叫失败结点。

外部路径长度$E_n$和内部路径长度$I_n$关系： $E_n=I_n+2n$

结论：由平分法构造出来的丰满查找树为使$I_n$达到最小，为$I_n=O(n{\log }_{2}n)$,AVG=$O({\log }_{2}n)$

6.6 Huffman算法

最小外部加权路径长度。优先队列问题。

每次合并权值最小和次小的结点，产生新节点添加到序列中，排序。

信息编码：1.统计各个字母的使用频率，2.生成一棵Huffman树，频率做权值。

译码树：向左分支记为0，向右分支记为1.

6.7 B树

平衡多叉树，键值是排好序的。

m阶B树性质：

（1）子结点个数<=m;

（2）除根和叶子外，每个结点的子结点个数>=$\lceil m/2\rceil$。

（3）根结点至少有两个子结点，除非它没有子结点。

（4）所有叶子出现在同一层上，而且不带信息。

（5）具有k个子结点的非叶子结点含有k-1个键值。

最后

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