python解决上n级台阶问题，步长为3k+1，k为任一自然数

Problem

竺竺为了追求漂亮温柔的学姐，决定走到学姐所在的第n级平台上，由于他心情欢快连跑带跳，他一次只能向上走1,4,7,10…(即3n+1)级台阶。竺竺想知道他有多少种方法走上这n级台阶，你能帮帮他吗？

Input

一行一个整数n（n<=10000），表示一共有n级台阶。

Output

一行一个整数，表示竺竺上台阶的方案数，结果对100003取余。

Sample Input

5

Sample Output

3

初步想法

def count(n)，计算上n级台阶的方案数；
所有的方案按照最后一步的走法分类；
最后一步可能走1，4，7……，m；m是数列{3k+1}中不大于n的最大项；
那么按照加法原理：
$$count(n)=count(n-1)+count(n-4)+\dots \dots +count(n-m)$$

代码一

def count(n):
	if n%3==0:   #先求得m
		m=i-2
	elif n%3==1:
 		m=i
	else:
		m=i-1
	if n<4:
		return 1    #递归出口
	else:
		s=sum([count(n-i) for i in range(1,m+3,3)])  #递归
		return s%100003
n=int(input())
print(count(n))

输入：50

输出：13886

耗时：54.8s

优化

递归显然是低效的，考虑逐项递推，来降低空间复杂度；
用字典键值对来存储（台阶数，方案数）

def count(n):
    l={0:1,1:1,2:1,3:1}   #字典存放--台阶数：方案数
    if n<4:
        return 1
    else:
        for i in range(4,n+1):   #求得{3k+1}数列中不大于i的最大项为m
            if i%3==0:
                m=i-2
            elif i%3==1:
                m=i
            else:
                m=i-1
            l[i]=sum([l[i-j] for j in range(1,m+3,3)])%100003   #同样的递推关系，用字典来操作
        return l[n]  #返回字典中键n的值
n=int(input())
print(cou(n))

输入：50；1000；10000，100000（除了这个程序其他都算不了十万）

输出：13886；56613；30763；37326

耗时：731ms；1.38s；5.29s；很久

另一种想法

换一种分类的方法，考虑走的步数；
假定走了m步，每一步走
$$3k_i+1，k_i\in N，i=1,2,...,m$$
那么就得到
$$\sum _{i=1}^m(3k_i+1)=n$$
也就是
$$\sum _{i=1}^m{k}_i=\frac{n-m}{3}$$
这个不定方程的解集的个数其实是很好求的。
这里要求$$m\equiv n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3，1\le m\le n,m\in N^{\ast }$$方程才有解；
方程解集个数为$$C_{\frac{n-m}{3}+m-1}^{m-1}$$
（这是个典型的组合问题，可以参考以下文章 链接???? ）

接下来就是简单的编程问题了：

代码二

from scipy.special import comb   #借用scipy库计算组合数
def cou(n):
    sum_answer = 0
    for m in range(n,0,-3):  #m其实就是n-3k
        sum_answer += comb((n+2*m-3)/3,(n-m)/3,True)   
           #这里True参数表示结果用int表示，否则默认返回float
    return sum_answer%100003
n=int(input())
print(cou(n))

输入：50；1000；10000

输出：13886；56613；30763

耗时：728ms；1.36s；5.05s

实际上计算更大的数据时用组合数的方法就不再占优势（也可能是py的局限性），但是数学上岂不美哉～

以上

最后

以上就是漂亮香水为你收集整理的python解决上n级台阶问题，步长为3k+1，k为任一自然数的全部内容，希望文章能够帮你解决python解决上n级台阶问题，步长为3k+1，k为任一自然数所遇到的程序开发问题。

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