一刷104-dp-70爬楼梯（e）（同：剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题）

题目：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
----------------------
示例：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
----------------------
思考：
爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

我们来分析一下，动规五部曲：
定义一个一维数组来记录不同楼层的状态
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

确定递推公式
如果可以推出dp[i]呢？
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。
这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！

dp数组如何初始化
在回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]中方法。
那么i为0，dp[i]应该是多少呢，这个可以有很多解释，但都基本是直接奔着答案去解释的。
例如强行安慰自己爬到第0层，也有一种方法，什么都不做也就是一种方法即：dp[0] = 1，相当于直接站在楼顶。
但总有点牵强的成分。
那还这么理解呢：我就认为跑到第0层，方法就是0啊，一步只能走一个台阶或者两个台阶，
然而楼层是0，直接站楼顶上了，就是不用方法，dp[0]就应该是0.
其实这么争论下去没有意义，大部分解释说dp[0]应该为1的理由
其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过，然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1。
从dp数组定义的角度上来说，dp[0] = 0 也能说得通。
需要注意的是：题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况。
所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化！

我相信dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。
所以我的原则是：不考虑dp[0]如果初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，
然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。

确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的

此时大家应该发现了，这不就是斐波那契数列么！
唯一的区别是，没有讨论dp[0]应该是什么，因为dp[0]在本题没有意义！
-------------------
代码：
class Solution {//dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 2) return 1;//特判
        int[] dp = new int[n + 1];//定义dp数组
        dp[1] = 1;//初始化
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - 2]);
        }
        return dp[n];
        }
}
与斐波那契数列极为相似
/**
dp[0]无意义
同 斐波那契数列
时间复杂度 o(n) 空间复杂度 o(n)
70爬楼梯 不需要取余  
剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题 根据题意要取余  %1000000007
 */

LC

修改本题：
其实本题稍加改动就是一道面试好题。
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。
问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

动规五部曲分析如下：
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，
如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

class Solution {
	public int climbStairs(int n) {
		int[] dp = new int[n + 1];
		int[] weight = {1, 2};
		dp[0] = 1;
		for (int i = 0; i <= n; i++) {
			for (int j = 0; j < weight.length; j++) {
				if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];
			}
		}
		return dp[n];
	}
}

最后

以上就是体贴马里奥为你收集整理的一刷104-dp-70爬楼梯（e）（同：剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题）的全部内容，希望文章能够帮你解决一刷104-dp-70爬楼梯（e）（同：剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题）所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。