求逆元的三种方法

在数论中如果$ab\equiv 1modp$，我们称a、b在模p的情况下互为乘法逆元。

在取模运算中加减法和乘法都是封闭的
即
(a + b) % p = a % p + b % p
(a - b) % p = a % p - b % p
a $\times$ b % p = a % p $\times$ b % p

但是遇到除法就麻烦了，除法运算对取模运算不封闭，且运算过程中会产生小数，于是就引入了逆元这个概念，a、b在模p情况下互为乘法逆元，说明在模p意义下b和$\frac{1}{a}$的意义相同，这样就解决了小数和除法取模的问题

计算逆元的三种方法：扩展欧几里得算法、费马小定理、线性递推

扩展欧几里得

假设$ab\equiv 1(modm)$
这个方程可以转化为$ax+my=1$用扩展欧几里德算法求出x和y即可计算出b，$b=(x\%m+m)\%m$这是为了把b变成正数

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
if(!b){
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}

费马小定理

若$m$是质数，且$gcd(a,m)=1$，则有$a^{m-1}\equiv 1(modm)$

所以逆元为$a^{m-2}$，使用快速幂计算即可

//快速幂
int qmi(int a, int b, int p){
int res = 1;
while(b){
if(b & 1) res = (LL)res * a % p;
b >>= 1;
a = (LL)a * a % p;
}
return res;
}

线性递推

P3811 【模板】乘法逆元

设$m=i\times k+r，(1<r<i<m)$，即$k=\lfloor m/i\rfloor ,r=mmodi$

放在$(modm)$的意义下可得到

$i\times k+r\equiv 0(modm)$

$i\equiv -r\times k^{-1}$

$i^{-1}\equiv -k\times r^{-1}$

整理得

$i^{-1}\equiv -\lfloor m/i\rfloor \times (mmodi{)}^{-1}(modm)$

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++ i)
{
inv[i] = ((LL)-m / i * inv[m % i] % m + m) % m;
printf("%dn", inv[i]);
}

最后

以上就是迅速超短裙为你收集整理的求逆元的三种方法的全部内容，希望文章能够帮你解决求逆元的三种方法所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。