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2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

A题   高压油管的压力控制

燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础，图1给出了某高压燃油系统的工作原理，燃油经过高压油泵从A处进入高压油管，再由喷口B喷出。（bk）燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷出的燃油量出现偏差，从而影响发动机的工作效率。(bk2)

图1 高压油管示意图

问题1. 某型号高压油管的内腔长度为500mm，内直径为10mm，供油入口A处小孔的直径为1.4mm，通过单向阀开关控制供油时间的长短，单向阀每打开一次后就要关闭10ms。喷油器每秒工作10次，每次工作时喷油时间为2.4ms，喷油器工作时从喷油嘴B处向外喷油的速率如图2所示。高压油泵在入口A处提供的压力恒为160MPa，高压油管内的初始压力为100 MPa。如果要将高压油管内的压力尽可能稳定在100MPa左右，如何设置单向阀每次开启的时长？如果要将高压油管内的压力从100MPa增加到150 MPa，且分别经过约2s、5 s和10s的调整过程后稳定在150 MPa，单向阀开启的时长应如何调整？(spm1)

图2 喷油速率示意图

问题2. 在实际工作过程中，高压油管A处的燃油来自高压油泵的柱塞腔出口，喷油由喷油嘴的针阀控制。(bk1)高压油泵柱塞的压油过程如图3所示，凸轮驱动柱塞上下运动，凸轮边缘曲线与角度的关系见附件1。(bk2)柱塞向上运动时压缩柱塞腔内的燃油，当柱塞腔内的压力大于高压油管内的压力时，柱塞腔与高压油管连接的单向阀开启，燃油进入高压油管内。柱塞腔内直径为5mm，柱塞运动到上止点位置时，柱塞腔残余容积为20mm³。(rsc)柱塞运动到下止点时，低压燃油会充满柱塞腔（包括残余容积），低压燃油的压力为0.5 MPa。(rsc2)喷油器喷嘴结构如图4所示，针阀直径为2.5mm、密封座是半角为9°的圆锥，最下端喷孔的直径为1.4mm。针阀升程为0时，针阀关闭；针阀升程大于0时，针阀开启，燃油向喷孔流动，通过喷孔喷出。(bk3)在一个喷油周期内针阀升程与时间的关系由附件2给出。(rsc3)在问题1中给出的喷油器工作次数、高压油管尺寸和初始压力下，确定凸轮的角速度，使得高压油管内的压力尽量稳定在100 MPa左右。(smp2)

图3 高压油管实际工作过程示意图

图4 喷油器喷嘴放大后的示意图

问题3. 在问题2的基础上，再增加一个喷油嘴，每个喷嘴喷油规律相同，喷油和供油策略应如何调整？(spm3)为了更有效地控制高压油管的压力，现计划在D处安装一个单向减压阀（图5）。(bk4)单向减压阀出口为直径为1.4mm的圆，打开后高压油管内的燃油可以在压力下回流到外部低压油路中，从而使得高压油管内燃油的压力减小。请给出高压油泵和减压阀的控制方案。(spm4)

图5 具有减压阀和两个喷油嘴时高压油管示意图

注1. 燃油的压力变化量与密度变化量成正比，比例系数为，其中为燃油的密度，当压力为100 MPa时，燃油的密度为0.850 mg/mm³。为弹性模量，其与压力的关系见附件3。

注2. 进出高压油管的流量为，其中为单位时间流过小孔的燃油量（mm³/ms），为流量系数，为小孔的面积（mm²），为小孔两边的压力差（MPa），为高压侧燃油的密度（mg/mm³）。

附件1：凸轮边缘曲线

附件2：针阀运动曲线

附件3：弹性模量与压力的关系

评注：

经典的国赛A题风格，不是油罐就是水槽，用的都是现成的物理模型，几乎要把声光热电力给遍历一遍，来保持考试一般的完整性。

我们一般说，建模的时候，要恰好连接问题的答案与已知条件。这边题目的几个问题都给定了足够范围的已知条件，和问题答案之间的距离几乎是呼之欲出。建模需要思考的层次和创造性的部分并不充足，而是按部就班地把条件按照框架用好，就能得到结论，就像一场标准化高考的延伸。

相关标注已经用红色标注在文中，给的条件基本上都是限制性的一些参数和规律内容，基本没有什么空间。倒是问题之间的层次递进性很好，每一问都在模型的难度和层次上提升，考察你是否真的掌握了这些模型以及足够深入和熟练。

问题一问的是单向阀每次开启的时长。这种求值问题有两种方案，一种是小学数学经常见到的列方程求解，基本上只有课本上才有可能建立这样的关系，实际情况很困难；还有一种是构建目标函数，求其参数使得目标函数达到最优。这个是更符合一般优化问题实际场景的方式，而前一种的固定函数关系现实中几乎没有。

这个问题可以先简单地用第一种解法，要达到100MPa和150MPa，对应过去的基本上就是一个含有开启时间间隔的代数方程了，解之即可。然而这个压强也是一个变化的量，尽量稳定实际上是随时间的函数距离固定值的绝对值积分要小，这又变成一个优化问题来更精确的求解了。

问题二增加了高压油泵部分的工作原理，也要对这部分来进行建模来计算原来以条件给出的压强。这里建模的触角延伸到凸轮的角速度，然后是压强，然后是稳定。多了一个层次的因果关系，但是还是物理模型加优化求解的思路。

问题三继续添加了物理模型的难度增加喷油嘴和减压阀，然而这对理想气体满足的规律是不受影响的。另外，其解空间也扩大了，原来是单一参数时间间隔，现在是高压油泵和减压阀的控制方案，即两个对象，每个对象的方案又要给定参数空间去量化来求解，而本身是两个函数的函数形成的泛函优化问题。而最终参数化以后，求解方式也是一样的。

一如既往，国赛只要认真小心，基础扎实，就能够旗开得胜，加油！

B题   “同心协力”策略研究

“同心协力”（又称“同心鼓”）是一项团队协作能力拓展项目。该项目的道具是一面牛皮双面鼓，鼓身中间固定多根绳子，绳子在鼓身上的固定点沿圆周呈均匀分布，每根绳子长度相同。（bk1）团队成员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。项目开始时，球从鼓面中心上方竖直落下，队员同心协力将球颠起，使其有节奏地在鼓面上跳动。颠球过程中，队员只能抓握绳子的末端，不能接触鼓或绳子的其他位置。（rsc1）

图片来源：https://yjs.syu.edu.cn/_mediafile/yjs/2017/10/26/32yuesec78.png

项目所用排球的质量为270 g。鼓面直径为40 cm，鼓身高度为22 cm，鼓的质量为3.6 kg。队员人数不少于8人，队员之间的最小距离不得小于60 cm。项目开始时，球从鼓面中心上方40 cm处竖直落下，球被颠起的高度应离开鼓面40 cm以上，如果低于40cm，则项目停止。项目的目标是使得连续颠球的次数尽可能多。（rsc2）

试建立数学模型解决以下问题：

1. 在理想状态下，每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度，试讨论这种情形下团队的最佳协作策略，并给出该策略下的颠球高度。（spm1）

2. 在现实情形中，队员发力时机和力度不可能做到精确控制，存在一定误差，于是鼓面可能出现倾斜。试建立模型描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系。设队员人数为8，绳长为1.7m，鼓面初始时刻是水平静止的，初始位置较绳子水平时下降11 cm，表1中给出了队员们的不同发力时机和力度，求0.1 s时鼓面的倾斜角度。（spm2）

表1   发力时机（单位：s）和用力大小（单位：N）取值

3. 在现实情形中，根据问题2的模型，你们在问题1中给出的策略是否需要调整？如果需要，如何调整？（spm2‘）

4. 当鼓面发生倾斜时，球跳动方向不再竖直，于是需要队员调整拉绳策略。假设人数为10，绳长为2m，球的反弹高度为60cm，相对于竖直方向产生1度的倾斜角度，且倾斜方向在水平面的投影指向某两位队员之间，与这两位队员的夹角之比为1:2。为了将球调整为竖直状态弹跳，请给出在可精确控制条件下所有队员的发力时机及力度，并分析在现实情形中这种调整策略的实施效果。（spm3’）

评注：

虽然还是个物理问题，不过这力学和打鼓的背景好歹和我们的生活更加息息相关，看着就想做，什么油泵啥的，滚一边去，哈哈。

问题的递进结构和前一题一样严谨，不断减少条件增加建模的内容，我们耐心地各个击破就可以。

第一个问题是理想状态的最佳策略，这显然是个优化问题：

X：团队策略，比如每个人发力的角度，大小，位移长度等等；

Y：球的运行路径以及其运行评价，比如高度，频率等，怎样才是最好的结果；

F：精确控制的策略，得到鼓的行为，得到球的行为，结束。

可以看到这里X和Y的取得都是有一定自由度的，无论策略本身还是目标，都是需要建模来定义的，这才是我们要的数学建模，我们根据大脑观察到的物理世界进行理解和公式化，最后用数学来求解，妙哉。

这里就是个优化问题来求解最佳策略使得最优的球运行轨迹，如何设定策略空间以及球的运行目标是比数学还关键的部分，记得用定义和简化假设使得推理清晰明了。

问题二借鉴一的部分是优化目标，可以共用，只不过策略执行会加上扰动，使得最后的轨迹满足的是分布而不是常量固定了。因此，这里要的是分布的期望最优，方差最小等等一个分布的综合性质而不再是一个数。其他的部分和前一问一样，而其重点落在怎么把这个倾斜计算清楚，然后问题回答在下一问。

问题三是二的应用，把二的解放入三的模型中显然不是最优的，那么怎么才是最优的就成了其优化结论了。

这种拓展提问的递进策略已经见过很多次了。

问题四是个倾斜后的调整策略，一脉相承。这里感觉物理模型的构建和求解策略空间限定都很重要，是个综合的优化建模问题，细节不说了，大家好好发挥吧，加油！

问题C 机场的出租车问题

大多数乘客下飞机后要去市区（或周边）的目的地，出租车是主要的交通工具之一。国内多数机场都是将送客（出发）与接客（到达）通道分开的。送客到机场的出租车司机都将会面临两个选择：

(A)前往到达区排队等待载客返回市区。出租车必须到指定的“蓄车池”排队等候，依“先来后到”排队进场载客，等待时间长短取决于排队出租车和乘客的数量多少，需要付出一定的时间成本。

(B)直接放空返回市区拉客。出租车司机会付出空载费用和可能损失潜在的载客收益。（bk1）

在某时间段抵达的航班数量和“蓄车池”里已有的车辆数是司机可观测到的确定信息。通常司机的决策与其个人的经验判断有关，比如在某个季节与某时间段抵达航班的多少和可能乘客数量的多寡等。如果乘客在下飞机后想“打车”，就要到指定的“乘车区”排队，按先后顺序乘车。机场出租车管理人员负责“分批定量”放行出租车进入“乘车区”，同时安排一定数量的乘客上车。在实际中，还有很多影响出租车司机决策的确定和不确定因素，其关联关系各异，影响效果也不尽相同。（bk2）

请你们团队结合实际情况，建立数学模型研究下列问题：

(1)分析研究与出租车司机决策相关因素的影响机理，综合考虑机场乘客数量的变化规律和出租车司机的收益，建立出租车司机选择决策模型，并给出司机的选择策略。（spm1）

(2)收集国内某一机场及其所在城市出租车的相关数据，给出该机场出租车司机的选择方案，并分析模型的合理性和对相关因素的依赖性。（spm1’）

(3)在某些时候，经常会出现出租车排队载客和乘客排队乘车的情况。某机场“乘车区”现有两条并行车道，管理部门应如何设置“上车点”，并合理安排出租车和乘客，在保证车辆和乘客安全的条件下，使得总的乘车效率最高。(spm2)

(4)机场的出租车载客收益与载客的行驶里程有关，乘客的目的地有远有近，出租车司机不能选择乘客和拒载，但允许出租车多次往返载客。管理部门拟对某些短途载客再次返回的出租车给予一定的“优先权”，使得这些出租车的收益尽量均衡，试给出一个可行的“优先”安排方案。(spm3)

评注：

终于有一个数学规划问题了，不然我的运筹学就要白学了。这种实际生活中的模型远比一些物理模型要来的实际和好玩，因为所见即所得，即学即用，不像物理模型那样还是要老听牛顿几千年不变的旧东西。

看完全题果真有一种想亲自做一遍的冲动，前两个物理题滚一边去。。。

这题美就美在，所有的模型，对司机，对管理员的定义和假设都是来源于建模者本身，你们可以像上帝打游戏一样给每一个问题中参与的司机和管理者构建模型来解决。

问题一：策略就是一个函数，这里就是情形到是否等待的映射，那就是个分类问题，而且没有训练数据，因此是个纯经验判断计算的机理模型，参数都要自己给定。回想一下我们学习人口模型的例子有时就是如此，我们先参数化，再假定一个合理的参数值就结束了。影响机理的输入自变量就是评价问题里的影响因子，决策模型就是其函数，最后得出的结论就是评价结果，看起来可以用评价问题思路统计地解决，也可以添加状态机机理来自我构建函数。

问题二：对问题一的数据检验，算完以后，应该可以得到真实的士司机的判别参数。

问题三：原问题有一些参数，比如上车点设置，这里把参数变成变量，在原来司机行为优化完不变的情况下，此时参数当成决策变量去求取效率的最优。效率最优可以从乘客和司机两个角度综合考虑，还是评价问题构建函数的思路。

问题四：在三中的可变参数中增加了对车辆运送里程的区分，这样可以更好地平衡司机，使得这个目标达成，那么给出具体的优先策略的参数化方案，并把收益均衡目标纳入目标函数，就可以得到结果。

注意不要硬套排队论问题，这里比排队模型的基本模型要复杂和考虑更多，直接从问题本身出发来建模！

好运！

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