机器学习基石 Lecture9: Linear Regression

Linear Regression Problem

回到下发信用卡的例子。之前的例子里需要判断的是是否下发信用卡，如果现在改为对某个用户应该给多少信用卡额度，那么这个问题的结果$y$就变成了一个实数，因此这个问题也就变成了一个回归问题。如果把每一维的特征使用不同的系数求得加权和作为预测结果，那么这个假设函数就叫做线性回归的假设：

假设函数和感知机很像，不过没有了sign函数。对于线性回归而言，要找到一个分隔线或者分隔面，使得预测结果与真实结果之间的差别最小。
一般在线性回归问题里使用的error measure都是平方误差。如下所示。我们的算法目标就是找到一个$E_{in}$最小的假设函数：

Linear Regression Algorithm

为了以后的推导方便，我们把目标函数$E_{in}(w)$写为矩阵的形式：

最终的结果是一个向量模长的表示。这个目标函数有很好的性质：连续，可微，且是个凸函数。因此我们的算法需要找到一个让目标函数有最小值的系数$w$：
很自然的想到对这个表达式进行求梯度，梯度为0的位置就是我们需要的结果 。梯度求导如下：
显然对于以上的梯度形式，我们可以写出等于0时候的闭式解。不过根据$X^{T}X$的可逆性也分为两种情况，但是最终都能够直接求得结果：

一般情况下$X^{T}X$都是可逆的，因为样本数量$N$会远远大于向量维度$d+1$，也就是X的秩一般是$d+1$。通常直接调用求逆或伪逆的包即可求得结果。因此就得到了线性回归的算法流程：

Generalization Issue

看起来线性回归的算法并不像是一个机器学习的过程，而是直接得到了一个结果。但是实际上判断的方式应该看$E_{out}(w_{LIN})$有没有真的很小，如果是那就说明真的学到了：
这么一个解析解的结果也能够为我们提供一些算法的保证，而且比VC bound的保证要简单一些。首先计算在平均情况下$E_{in}$的结果：

图中把$X{X}^{+}$写为一个映射函数$H$，代表的是将向量$y$映射为一个新的结果$\hat{y}$。可以通过图解来理解各个量之间的关系：

红色的一大片表示的是使用$X$作为空间的基组成的一个线性空间。显然结果$\hat{y}$落在这个空间里。$y-\hat{y}$是新旧结果之间的差，它垂直于这个空间平面。有一个结论是$I-H$的迹等于$N-(d+1)$。不好详细推导，可以简单理解为这个映射矩阵$H$把原先有$N$个自由度的$y$映射为一个只有$d+1$个自由度的空间内，因此$I-H$的迹是这个结果。

根据图示我们可以写出$E_{in}(w_{LIN})$的表示形式与最终的结果：
$E_{out}$的平均结果推导比较复杂，可以稍微理解为因为$E_{in}$在可见的数据集上的一定的偏移导致了后一项结果的正负值不同。

可以看出随着N的增加，最终算法能够保证$E_{out}$的上限。因此算法确实学到了东西。

Linear Regression for Binary Classification

线性回归与线性分类似乎很接近，而且线性回归可以直接求得解析解。似乎可以使用线性回归的结果用在线性分类的问题里，只不过最终将结果再加个sign函数即可。那么这个使用方式在数学上是否合理呢？
它们之间唯一的不同似乎就在于error measure的不同，两种方法之间的关系如下图：
对于某个样本而言，线性回归的error总是大于等于0/1 error的。回到之前为感知机推导的VC bound，我们可以发现使用线性回归的error measure也能够为线性分类的$E_{out}$提供一个上限保证，也就是说这个方法确实是可用的。
或许使用了这个measure牺牲了上限的紧度，但是更容易计算。而且为了得到更好的结果，也可以作为PLA算法的初始结果进行迭代。

最后

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