概述
2.1 数学模型
1、数学模型： 在分析和设计系统时，了解系统的工作原理及运动过程是很重要的，但是更重要的是需要深入研究它们的动态特性，正确列写出它们的数学表达式。
深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。
描述控制系统动态特性，输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称为建模
实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。
l两个概念：变量：方程角度考虑。 参数：模型角度考虑
2、动态特性
控制系统所采用的元件、装置、设备种类繁多，有各自的工作特性，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少就可以用状态变量来表示。
状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。
例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。
3、建立控制系统数学模型
物理模型：任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。建立控制系统数学模型的方法有
分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。
实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
数学模型的特点：
相似性：实际工程控制系统，机械的、电气的、液动的、生物学的、经济的。只要它们具有相同的运动规律，其数学模型就会是相同的。
简化性和准确性：同一个系统既可能有完整的、复杂的数学模型，也可能有简单的、近似的数学模型。折中考虑模型的简化性和准确性。
静态模型和动态模型：
静态模型：变量的各阶导数为零，使用代数方程来进行描述。
动态模型：使用微分方程组来进行描述。
建立系统数学模型的几个步骤：
- 建立物理模型。
- 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）
- 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
几种常见的控制系统：
1.集中参数系统
系统的变量（参数）仅仅是时间的函数。集中参数系统建立的动态数学模型通常是微分方程。
2.分布参数系统
系统的变量（参数）不仅是时间函数，而且还是空间的函数。分布参数系统建立的动态数学模型通常是偏微分方程。如很大的蒸馏罐，温度随空间位置不同是有梯度变化的。
在实际系统中，大多数系统都是分布式参数系统，但由于偏微分方程求解比较困难，因此在一定误差允许范围内，对系统作一个近似，近似为集中参数系统，这样就可以用微分方程进行分析。
3.线性系统
能够用线性数学模型(线性的代数方程、微分方程、差分方程等)描述的系统，称为线性系统。这类系统的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性等均满足线性关系。
对于控制系统而言，由线性元件构成的系统为线性系统，其运动方程一般为线性微分方程。若其各项系数为常数，则称为线性定常系统。
在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和（可加性），并且当输入增大倍数时，输出相应增大同样的倍数（均匀性），就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统
4.非线性系统：描述系统的数学模型是非线性微分方程，其特性是不能应用叠加原理。
不满足叠加原理的系统，就是非线性系统。因此非线性系统对两个输入量的响应不能单独进行计算，因此系统分析将比较困难，很难找到一般通用方法。但在实际系统中，绝对线性的系统是不存在的，通常所谓的线性系统也是在一定的工作范围内才保证线性的，如放大器，在小信号时可能出现“死区”，在大信号时，又可能出现饱和现象，如图所示即为几种常见的非线性的关系曲线。
5.线性定常系统
如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数，那么称系统为线性定常系统。
6.线性时变系统
如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的函数，那么称系统为线性时变系统。
数学模型有多种表现形式：
常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。
总结：
一、时域模型
1微分方程－输入量和状态变量都是连续的，集总参数；偏微分方程，分布参数。
2差分方程－离散系统。
二、复频域模型 1传递函数 2 结构图－信号流图
三、频域模型－频率特性，波特图
连续系统－微分方程
1线性微分方程 线性系统
2常系数线性微分方程 线性定常系统 线性时变系统
3偏微分方程－分布参数系统
4非线性微分方程
离散系统：使用差分方程
2.2 线性系统的微分方程：时域数学模型
线性元件的微分方程
方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。
（1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，搞清个变量之间的关系；
（2）做出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。
（3）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；
（4）列写中间变量与其它变量的因果式，即辅助方程。到此为止方程的数目应和变量的数目相同，且各方程相互独立。
（5）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；
（6）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。
一、示例：建立机械平移系统的数学模型
对于机械平移系统经常按照集中参数建立系统的物理模型，然后进行性能分析。机械系统物理模型：有三个基本的无源元件：质量m、弹簧K和阻尼器f。
1.机械系统受力分析
惯性力：与质量有关。牛顿第二定律。
a代表加速度，v代表速度，y代表位移。质量m可看作系统中得储能元件，储存平动动能。系统固有参数。
弹性力：一种弹簧的弹性恢复力。其大小与形变成正比。
k：弹簧刚度，也属于储能元件，储存弹性势能。系统固有参数。
阻尼力：阻尼器产生的粘性摩擦阻力，其大小与阻尼器中的活塞和缸体的相对运动速度成正比。
f：阻尼系数，本身不储存任何动能和势能，主要用来吸收系统的能量，并转换为热能耗散掉。
例2-1 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。
解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力
其中
式中 k —— 弹簧系数 f —— 阻尼系数
整理且标准化：
二、电路的数学模型
例2-2 图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。
解： 设回路电流i1、i2
根据克希霍夫定律，列写方程
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
三、电动机的数学模型
例2-3 图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。
电动机的转速
系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：
①确定系统的输入量和输出量
②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。
③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。
2.3 线性定常微分方程的求解方法
求解方法一般有两种：经典法、拉氏变换法。后一种最常用。
拉氏变换法求解微分方程的步骤：
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；
3. 对输出量拉氏变换函数求拉式反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
例：用拉氏变换解微分方程 动态电路如图所示
求解步骤如下：
2.4 非线性元件微分方程的线性化
当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。
非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。
具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统）。
一、假如元件的输出与输入之间关系
当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成
其中
为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、铁芯线圈
如图所示，输入为ui(t)，输出为i(t)。
线圈的微分方程为
当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（u0,i0）附近变化时，即有
线圈中的磁通
因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式
这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
在时域范围内求解微分方程是非常困难的。拉式变换本身具有简化函数和简化运算的功能，能把微分运算简化为一般的代数运算。
所谓复频域分析，是指线性动态系统的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。
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参考
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最后
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