Gibbs现象

吉布斯现象是由亨利·威尔伯拉罕在1848年发现的，然后由j·威拉德·吉布斯在1899年重新发现的。
对于具有不连续的周期信号，如果通过加傅立叶级数来重构信号，则在边缘附近会出现超调。这些超调以远离边缘的阻尼振荡方式向外衰减。这被称为GIBBS现象，如下图所示。

因为，当$0<x<\pi$时$f(x)=1$，当$\pi <x<2\pi$时$f(x)=-1$(在$(0,2\pi )$范围外重复)定义的方波具有傅立叶级数展开:
$$\begin{array}{c}f(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{n=1,3,5,\cdots }\frac{1}{n}\sin (nx)\end{array}$$
更一般的,随着N增加，部分起伏就向不连续点压缩，但是对任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不变，以函数$f(x)=x$为例，其周期为$2\pi$，某个定义区间为$[-\pi ,\pi ]$,其图像为：

且它的傅里叶展开级数的系数为：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{b}_n& =(\frac{1}{\pi }){\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin (nx)\mathrm{d}x\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}(\frac{2}{n})\end{array}\end{array}$$则它的傅里叶级数近似结果如下：

其误差表示为：

从图中可以看出其误差最大值保持不变，约为跳变值的0.09倍。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0,2*np.pi,5000)

square_wave = np.ones_like(x)
square_wave[int(x.size/2):]=-1

N = 30
fsq = np.zeros_like(x)
for i in range(N):
    n = 2*i + 1
    fsq += np.sin(n  *x) / n
fsq *= 4 / np.pi

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, square_wave, lw=5, alpha=0.5)
ax.plot(x, fsq, 'r')
ax.set_ylim(-1.2,1.2)
plt.title('N='+str(N))

ax.set_xticks([0,1,2,3,4,5,6,7])
ax.set_xticks([0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5], minor=True)
ax.set_yticks([-1, 0, 1])
ax.set_yticks(np.arange(-1.2,1.2,0.2), minor=True)

ax.grid(b=True, c='k', lw=1, ls='--', which='major')
ax.grid(b=True, c='0.4', lw=0.5, ls=':', which='minor')

plt.show()

运行结果：

最后

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