洛谷P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪+扩展欧几里得求逆元

TITLE

思路

CRT

$x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$

$x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)$

$\dots \dots$

$x\equiv a_{n-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_{n-1})$

$x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)$

m两两互质

$设M={\prod }_{i=1}^n{m}_i,M/m_i\ast t_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$

$a_i\ast (M/m_i)\ast t_i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_j)(i\ne j)$

$a_i\ast (M/m_i)\ast t_i\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$

$加a_i\ast (M/m_i)\ast t_i只会影响(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$

$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)时,t_i\ast (M/m_i)\equiv 1,a_i\ast (M/m_i)\ast t_i\equiv a_i$

$ans={\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast t_1\ast (M/m_i)$

扩展欧几里得求逆元

$扩展欧几里得求a^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
$a\ast x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)(ans=x)$
$a\ast x+m\ast y=1$
$a\ast x+m\ast y=\gcd (a,m)(a,m互质,\gcd (a,m)=1)$
$扩展欧几里得求,ans=x$

CODE

#include<iostream> 
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(!b){x=1,y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	long long tmp=x;x=y,y=tmp-a/b*y;
	return;
}
long long niyuan(long long s,long long m)
{
	long long x,y;
	exgcd(s,m,x,y);
	return (x%m+m)%m;
}
int main()
{
	long long n,lcm=1,x,y,i,ans=0,a[21],m[21];
	for(scanf("%lld",&n),i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]),lcm*=m[i];
	for(i=1;i<=n;i++)ans=(ans+lcm/m[i]*a[i]*niyuan(lcm/m[i],m[i]))%lcm;
	printf("%lld",ans+(ans<0)*lcm);
	return 0;
}

最后

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