中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪【模板】

>Link

luogu P1495

>Description

求解一元线性同余方程组$\{\begin{array}{c}x\equiv b_1(mod{a}_1)\\ ......\\ x\equiv b_n(mod{a}_n)\end{array}$
保证$a$两两互质

>解题思路

#关于这道题
……因为用了unsigned long long调用太多内存爆了，所以只有60分，检查了好久（甚至还去对标 了）才检查出来要用longlong……

（笔记参考Bat特白）

#关于中国剩余定理

孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。 ——百度百科

求解一元线性同余方程组$\{\begin{array}{c}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$

将问题进行分解，使得（以下$mod$省略）$\{\begin{array}{c}{x}_1\equiv 2(3),x_1\equiv 0(5),x_1\equiv 0(7)\\ x_2\equiv 0(2),x_2\equiv 3(5),x_2\equiv 0(7)\\ x_3\equiv 0(2),x_3\equiv 0(5),x_3\equiv 2(7)\end{array}$
此时$x=x_1+x_2+x_3$，$x$的性质依然满足

再将问题进行分解，看$x_1$如何求
求 $y_1\equiv 1(3),y_1\equiv 0(5),y_1\equiv 0(7)$
那么 $x_1=2\ast y_1$

这样求出所有的$y$，$x=2\ast y_1+3\ast y_2+2\ast y_3$
但是此时$x$还不是最小解，$x$要不断减去$3,5,7$的最小公倍数直到不能减（呃好吧其实就是直接取模

那么如何求$y$？？
因为 $y_1\equiv 1(3),y_1\equiv 0(5),y_1\equiv 0(7)$，所以$y_1$一定是$5$和$7$的公倍数，我们设 $y_1=35t$
那么现在就变成了 $35t\equiv 1(3)$，可以转化成 $35t-1=3k$
再转化一下：$35t-3k=1$，这不就是exgcd吗！直接开始扩欧
（因为题目保证$a_i$与$a_j$互质，所以我们可以扩欧）

>代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define N 100000
using namespace std;

int n;
LL a[N], b[N], M, ans, m;

void ex_gcd (LL aa, LL bb, LL &x, LL &y)
{
	if (!bb) {x = 1, y = 0; return;}
	LL X = x, Y = y;
	ex_gcd (bb, aa % bb, X, Y);
	x = Y;
	y = X - (aa / bb) * Y;
}

int main()
{
	scanf ("%d", &n);
	M = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf ("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
		M *= a[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		m = M / a[i];
		LL x = 0, y = 0;
		ex_gcd (a[i], m, x, y);
		if (y <= 0) y += a[i];
		ans += m * y * b[i];
	}
	printf ("%lld", ans % M);
	return 0;
}

最后

以上就是优美咖啡为你收集整理的中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪【模板】的全部内容，希望文章能够帮你解决中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪【模板】所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。