算法-动态规划-跳台阶

leetcode中有一个类型的题目是动态规划经常考察的点——斐波那契数列。跳台阶的问题是斐波那契数列的变种问题，总体思路上没有什么太大变化。

1.跳台阶easy

先来看这道题剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题。题目描述如下：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
输入：n = 2
输出：2

示例 2：
输入：n = 7
输出：21

示例 3：
输入：n = 0
输出：1
提示：0 <= n <= 100
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof
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根据题意可得：

• 台阶数小于1，则跳的方案为0
• 台阶数等于1，方案数为1
• 台阶数等于2，方案数为2，可以跳一阶两次，或者可以跳二阶一次
• 当台阶数大于2，方案数的递推公式为：
  $$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$$
  也就是说要想跳上当前台阶$i$，需要从它的$i-1$或者$i-2$阶跳上来。
  那么核心代码为：

#include<iostreaam>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution{
public:
public:
int numWays(int n) {
if(n <= 1)
{
return 1;
}
int n_1 = 1;
int n_2 = 1;
int x = 1000000007;
for(int i = 2;i <= n;i++)
{
n_1 = n_1 + n_2;
n_2 = n_1 - n_2;
n_1 = n_1 %x;
n_2 =n_2 %x;
}
return n_1;
}
};

注意方案数过大时需要取模。

2. 掷骰子middle

掷骰子游戏相比于跳台阶游戏其实并无太大差别，主要是方案数增多。原来跳台阶只能跳一阶或者两阶，方案数为最多为2。而掷骰子则方案数一下子增加到6。先来看题目：

骰子的点数有1-6点，掷骰子得到每个面的概率都是1/6,。现在我们要掷出某个点数$N（1<=N<=30)$，可能的方案数有多少？注意：掷出点数1,2和2,1本质上是两种不同的方案
示例1：N = 3
输出：4
解释：可能的方案数为：$(1,1,1),(1,2),(2,1),(3)$，总的方案数有四种

根据题目信息可得，如果要想达到某个点数（台阶），可能的方案数从上一题的两种变成了现在的六种。

• 如果是点数N小于等于6：

$$dp[N]=dp[N-1]+dp[N-2]+...+dp[N-i],i<=N$$

• 如果点数N大于6

$$dp[N]=dp[N-1]+dp[N-2]+dp[N-3]+dp[N-4]+dp[N-5]+dp[N-6]$$

如果点数小于等于6，那么就可以方案数就是已经存在的方案数之和。例如掷出点数3，那么可以从$dp[3-1]+dp[3-2]+dp[3-3]=dp[2]+dp[1]+dp[0]$三者之和了。

如果指出点数大于6，那么方案数就是掷出点数的六种组合的结果。

上面这种考虑方式其实已经包含了掷出不同点数（顺序不同的）的组合了。

实际代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
static int getNum(int N)
{
if(N <= 1)
{
return 1;
}
vector<int>dp(N + 1, 0);
dp[0] = 1;//点数为0的组合有一个
dp[1] = 1;//点数为1的组合有一个
for(int i = 2;i <= N;++i)
{
for(int j = 1;j <= 6 && i - j >= 0;++j)
{
dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[N};
}
int main()
{
int N;
cin >> N;
cout << getNum(N) << endl;
return 0;
}

最后

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