概述
最近看了一点矩阵分解的论文发现了一些好玩的东西，所以会准备总结几篇矩阵分解的文章，标题图来自facebook research。
奇异值分解相对于矩阵分解的问题
每个学过线性代数的人都不会对奇异值分解感到陌生，因为SVD广泛地应用于统计学，信号处理以及机器学习当中。形式上来看，一个维度为 m × n的实数矩阵的奇异值分列可以表示为A = U Σ Vᵀ；其中U代表的是一个维度为m × m的正交奇异向量矩阵，∑代表着奇异值的对角矩阵，最后一项是一个n × n的正交奇异向量矩阵。
在矩阵分解这个问题上，奇异值分解提供的策略是计算一个相对于A更低秩的近似矩阵Aᵣ，意味着r<m, n， 并且要使得||Aᵣ – A||最小。那么对于A = U Σ Vᵀtruncate SVD的策略是：
- 对于对角矩阵上面的奇异值进行降序排序；
- 在对角矩阵∑上面取前r个奇异值，相对应的在左右两边的奇异向量矩阵上面也取相对于的r列，最后分别得到了Σᵣ，Uᵣ， Vᵣ。
- 将Aᵣ = Uᵣ Σᵣ Vᵣᵀ作为最终矩阵分解的产物。
上述过程可以用如下的示意图来表示：
这样，通过SVD就可以成功的完成矩阵降维的过程。我们从矩阵分解来到了很相近的另外一个主题——降维，作为降维届的代表技术——PCA，而矩阵的奇异值分解能够直接得到矩阵通过
最后
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