ACM之同余相关

*整数的基本性质
概念：a|b a是b的约数（因子），b是a的倍数。
1. a|b b|c ——>a|c
2. a|b ——>a|bc 整除，a被b整除，a就可以被bc整除
3. a|b a|c ——>a|kb+nc
4. a|b b|a ——>a=±b
5. a=kb+c ——> a 和 b的公因数相同
证明：假设d是b，c的公因数，即d|b，d|c
利用整除性质3：d整除b,c的线性组合，d|a。所以d是a和b的公因数，同理d也是a和c的公因数。

*最大公约数个最小公倍数
1.求最大公约数
策略：①辗转相除法（扩展版）②stein算法
2.最大公约数与最大公倍数的关系
lcm(a,b)*gcd(a,b)=a*b
即最小公倍数=两个整数的乘积除以最大公约数
3.所有的公倍数都是最小公倍数的倍数，所有的公约数都是最大公约数的约数

*欧几里得算法
1.原理：gcdf(a,b)=gcd(a,amodb)

int a;
int b;
int r;
scanf("%d %d",&a,&b);
while (b)//当b大于0时，循环继续
{
r = a%b;
a = b;
b = r;
}
return a;

2.欧几里得算法是计算最大公约数的传统方法，也是最简单的算法，效率高！
3.时间复杂度：O(lgn)，最坏的情况就是斐波拉契数列相邻的两项，空间复杂度 ：O(1)，最坏的情况分析：
体会 (12,8) (13,8)
a=K*b+c c=a-k*b
同时满足下面两个条件序列递减最慢，即辗转次数最多
① k=1;
② 最大公约数为1
4.但是对于整数来说，取余运算非常耗时。

最后

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