李亚普诺夫稳定性分析

1. 系统平衡状态

对于一个不受外力作用的系统

$$\dot{x}=f(x,t),x(t_0)=x_0,t\ge t_0$$

如果存在某个状态 $x_e$，使 $\dot{x_e}=f(x_e,t)=0,\forall x\ge t_0$成立，则称 $x_e$ 为系统的一个平衡状态。

对于线性系统：$\dot{x}=Ax,A{x}_e=0$
当 $A$ 非奇异，系统只有唯一的一个平衡状态，$x_e=0$，
当 $A$ 奇异，则存在无穷多个平衡状态。

对于非线性系统通常存在多个平衡状态。

例如：对于非线性系统

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=-x_1\\ & \dot{x_2}=x_1+x_2-x_2^3\end{array}$

其平衡状态为方程：

$\{\begin{array}{rl}& x_1=0\\ & x_1+x_2-x_2^3=0\end{array}$

的解，可解得有三个平衡状态：$x_{e_1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$，$x_{e_2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，$x_{e_3}=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$。

孤立的平衡状态：如果平衡状态是彼此孤立的，即在某一平衡状态的任意小的邻域内不存在其他平衡状态，则称该平衡状态为孤立的平衡状态。

2. 稳定性

2.1 李亚普诺夫意义下的稳定

若一不受外力作用的系统（自治系统）

$$\dot{x}=f(x,t),x(t_0)=x_0,t\ge t_0$$

对任意选定的实数 $ϵ>0$，都存在另一实数 $\delta (ϵ,t_0)>0$，使得由满足不等式

$$||x_0-x_e||<\delta (ϵ,t_0)$$

的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式

$$||\Phi (t;x_0,t_0)-x_e||<ϵ,t\ge t_0$$

则称孤立平衡状态 $x_e$ 为李亚普诺夫意义下的稳定状态。

如下图所示，系统状态从 $x_0$ 出发，无论怎么运动，都处于蓝色区域之内。

若 $\delta$ 的取值与 $t_0$ 无关，则称这个孤立平衡状态是一致稳定的。

2.2 渐进稳定 / 2.3 大范围稳定

2.4 不稳定

3. 李亚普诺夫第一法

4. 李亚普诺夫第二法

关于系统正定等概念参考正定 负定 半正定 半负定

5. 李亚普诺夫稳定性判据

定理（李亚普诺夫稳定性主判据）：设系统的状态方程为：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一个具有连续一阶导数的标量函数 $V(x)$ 且满足：

1. $V(x)$ 是正定的
2. $\dot{V(x)}$ 是负定的；

则系统在平衡状态 $x_e=0$ 是渐进稳定的。

3. 除满足条件（1）、（2）外，若 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，则系统在平衡状态 $x_e=0$ 是大范围渐进稳定的。

例：对于非线性系统

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=x_2-x_1(x_1^2+x_2^2)\\ & \dot{x_2}=-x_1-x_2(x_1^2+x_2^2)\end{array}$

试判别其平衡状态 $x_e=0$ 的稳定性。

解：取正定标量函数：$V(x)=x_1^2+x_2^2$

$V(x)$ 对时间的导数为：$\dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}=-2(x_1^2+x_2^2)$

由于 $V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 负定，故系统在平衡状态 $x_e=0$ 是渐进稳定的。

由于当 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，故系统在平衡状态 $x_e=0$ 是大范围渐进稳定的。

6. 李亚普诺夫辅助判据

定理（李亚普诺夫稳定性辅助判据）：设系统的状态方程为：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一个具有连续一阶导数的标量函数 $V(x)$ 且满足：

1. $V(x)$ 是正定的
2. $\dot{V(x)}$ 是半负定的；
3. 对于任意初始状态 $x(t_0)\ne 0$，在 $t\ge t_0$，除 $x=0$ 时，有 $\dot{V}(x)=0$外，$\dot{V}(x)$ 不恒等于零。
   则系统在平衡状态 $x_e=0$ 是渐进稳定的。
4. 除满足条件（1）、（2）、（3）外，若 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，则系统在平衡状态 $x_e=0$ 是大范围渐进稳定的。

注：
$\dot{V}(x)$ 半负定，说明在 $t\ge t_0$ 的某些时刻，系统的“能量”不再减少；
$\dot{V}(x)$ 不恒等于零，表明系统“能量”不再减少的状态不能保持，即系统会继续减少能量，直到平衡状态。

7. 李亚普诺夫不稳定判据

定理（李亚普诺夫不稳定性判据）：设系统的状态方程为：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一个具有连续一阶导数的标量函数 $V(x)$ 且满足：

1. $V(x)$ 是正定的
2. $\dot{V}(x)$ 是正定的；

则系统在平衡状态 $x_e=0$ 是不稳定的。

例：系统的状态方程为：

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=x_1+x_2\\ & \dot{x_2}=-x_1+x_2\end{array}$

试判别其平衡状态 $x_e=0$ 的稳定性。

解：取正定标量函数：$V(x)=x_1^2+x_2^2$

$V(x)$ 对时间的导数为：$\dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}=2(x_1^2+x_2^2)$

由于 $V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 也正定，故系统在平衡状态 $x_e=0$ 是不稳定的。

8. 李亚普诺夫第二法的几点说明

1. 李亚普诺夫函数是一个标量函数；是一个正定函数；对于一个给定系统，李亚普诺夫函数不是唯一的。
2. 不仅对于线性系统，而且对于非线性系统，它都能给出关于大范围内稳定的信息。
3. 李亚普诺夫稳定性定理只是充分条件；对于一个特定系统，若不能找到一个合适的李亚普诺夫函数来判定系统的稳定性，则不能给出该系统稳定性的任何信息。
4. 李亚普诺夫稳定性理论没有提供构造李亚普诺夫函数的一般方法；李亚普诺夫函数最简单的形式是二次型函数。

From: 浙江大学2020公开课【现代控制理论】

如果系统

$$\dot{x}=Ax+Bu,x(t_0)=x_0$$

是渐进稳定的，当且仅当对于任意给定的正定对称矩阵$Q$，李亚普诺夫方程

$$A^{T}P+PA=-Q$$

有唯一正定对称解阵$P$。

Ref:

1. (1)Lyapunov直接法与间接法, why
2. (2)Autonomous System的稳定性定义
3. (3)Lyapunov函数与Autonomous System的稳定性判别
4. (4)La Salle不变集原理与渐近稳定
5. 如何理解李雅普诺夫稳定性分析

最后

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