[数据结构]算法设计题--划分子集(快速排序思想)

问题

已知由n个正整数构成的集合A={ak}(0<=k<n)，将其划分为两个不相交的子集A1和A2，元素个数为n1和n2，A1和A2中元素之和分别为S1和S2。
设计一个尽可能高效的划分算法，满足|n1-n2|最小且|s1-s2|最大。要求：

1. 给出算法的基本设计思想。
2. 分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

解答

算法思想

将最小的[n/2]个元素放在A1中，其余的元素放在A2中，划分满足要求。不需要对全部元素进行排序，可以仿照快速排序的思想，基于枢轴将n个整数划分为两个子集。然后将划分后的枢轴位置i进行以下处理：

1. 若i=[n/2]，则划分成功，算法结束。
2. 若i<[n/2]，则枢轴及之前的所有元素均属于A1，继续后i之后的元素划分。
3. 若i>[n/2]，则枢轴及之后的所有元素均属于A2，继续对i之前的元素划分。

算法分析

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

/*
已知由n个正整数构成的集合A={ak}(0<=k<n)，将其划分为两个不相交的子集A1和A2，元素个数为n1和n2，A1和A2中元素之和分别为S1和S2。
设计一个尽可能高效的划分算法，满足|n1-n2|最小且|s1-s2|最大。要求：
4. 给出算法的基本设计思想。
5. 分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
*/
#include <iostream>
using namespace std;
int partition(int a[], int n) {
	int low = 0, high = n - 1; // 分别指向表的下界和上界
	int low0 = 0, high0 = n - 1; // 分别指向新表的下界和上界
	int s1 = 0, s2 = 0; // A1和A2的和
	int flag = 1; // 标记是否划分成功，0为成功
	int k = n / 2; // 表的中间位置
	while (flag) {
		// 快速排序思想
		int pivot = a[low];
		while (low < high) {
			while (low < high && a[high] >= pivot) {
				high--;
			}
			if (low != high) {
				a[low] = a[high];
			}
			while (low < high && a[low] <= pivot) {
				low++;
			}
			if (low != high) {
				a[high] = a[low];
			}
		}
		a[low] = pivot;
		// 如果枢轴的位置是中间位置
		if (low == k - 1) {
			flag = 0;
		} else {
			// 如果枢轴在中间前面的位置，那么0~low的元素属于A1，从low+1后面继续查找
			if (low < k - 1) {
				low0 = ++low;
				high = high0;
			} else {
				// 如果枢轴在中间后面的位置，那么在high~n-1的元素属于A2,从high-1之前查找
				high0 = --high;
				low = low0;
			}
		}
	}
	// 计算A1
	for (int i = 0; i < k; ++i) {
		s1 += a[i];
	}
	// 计算A2
	for (int i = k; i < n; ++i) {
		s2 += a[i];
	}
	return s2 - s1;
}
int main() {
	int a[100];
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> a[i];
	}
	cout << partition(a, n) << endl;
}

最后

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