论文解析：Collaborative Filtering for Implicit Feedback Datasets

基本信息

• 作者：Yifan Hu, Yehuda Koren, Chris Volinsky
• 单位：AT&T Labs – Research
• 发表：International Conference on Data Mining, 2008
• 引用量：2002 (截止2019年10月)
• Spark ml机器学习库ALS隐式矩阵分解（通过implicitPrefs参数指定采用显性反馈还是隐性反馈模型）算法spark.ml.recommendation.ALS参考本文实现
• 本文的意义在于在传统的FM算法的基础上，考虑了用户的隐形反馈建模的问题

问题背景

以往的矩阵分解模型基于user对于item的显性反馈，而对于没有显性反馈的user-item对，则认为是user-item评分矩阵的缺失值。但是在实际系统中，无法收集user对于item的显性反馈（例如user对item的评分），更多数据是隐性反馈（例如用户的购买历史、浏览历史）。
隐性反馈有如下特点：

1. 没有负面反馈。在显性反馈中，较高的评分可以看作是正面反馈，较低的评分可以看作负面反馈，而评分矩阵中缺失的评分则被某种意义上认为是没有信息量的，在计算模型中不予考虑；而在隐性反馈中，所有的反馈都是正面反馈，而没有反馈的user-item项未必是负面反馈（有可能该user没有点击/购买该item只是因为没有看到该item），但是模型也必须考虑这些没有反馈的user-item项，否则模型中就只有正面反馈没有负面反馈
2. 隐性反馈信噪比更低
3. 显性反馈的数值表示user偏好，具有明确的数值意义；隐性反馈的数值只能表达某种意义上的置信度。隐性反馈中的数值通常代表user action发生的次数（user对item的浏览量/购买量），但是action的次数并不能直接反应user的偏好。例如，用户观看一个视频2次可能是因为看视频的中间去处理了别的事情第一次视频中断了
4. 模型评价指标不同。在显性反馈模型中，可以直接使用诸如mse之类的指标来评估模型，而在隐性反馈模型中，由于user-item项的值没有明确的偏好数字量的意义，因此无法直接用上述指标评估模型

模型

在经典FM模型的基础上加入置信度加权。经典FM模型的优化模型为
$$mi{n}_{x,y}{\Sigma }_{u,i}(r_{ui}-x_u^T{y}_i{)}^2+\lambda ({\Sigma }_u||x_u|{|}^2+{\Sigma }_i||y_i|{|}^2)$$
其中$x_u$和$y_i$分别是用户$u$和物品$i$的隐向量，$r_{ui}$是$u$对$i$的评分（显性反馈）。第一项是矩阵分解项，第二项是参数正则项。
置信度权重的公式为
$$c_{ui}=1+\alpha r_{ui}$$
其中$r_{ui}$是用户$u$对物品$i$的隐性反馈，$\alpha$是超参数。当$r_{ui}=0$时，$c_{ui}=1$，表示模型也会计算没有隐性反馈的项，只是权重较小。
本文提出的隐性反馈模型的公式为
$$mi{n}_{x,y}{\Sigma }_{u,i}{c}_{ui}(p_{ui}-x_u^T{y}_i{)}^2+\lambda ({\Sigma }_u||x_u|{|}^2+{\Sigma }_i||y_i|{|}^2)$$
其中$c_{ui}$是上面提到的置信度权重，$p_{ui}$是一个表示$u$和$i$之间是否存在隐性反馈的0-1变量，存在隐性反馈时$p_{ui}=1$，否则$p_{ui}=0$. 因此，除了置信度加权和利用无反馈数据外，本文的隐性反馈模型和经典FM模型的区别还在于矩阵分解项中隐性反馈只有0-1没有数值，隐性反馈的数值体现在置信度权重当中。

优化方法

与经典FM一样，本文也采用ALS（Alternating Least Squares, 交替最小二乘法）对上述模型进行优化。
记user的隐向量为$X\in R^{m\times f}$，记item的隐向量矩阵为$Y\in R^{n\times f}$，$m,n,f$分别为user的个数，item的个数和隐向量的维度，$C^u,C^i$分别为$u$和$i$对应的置信度权重对角矩阵，$p(u),p(i)$分别为$u$和$i$对应的隐性反馈0-1向量，根据最小二乘法，有迭代公式
$$x_u=(Y^T{C}^{u}Y+\lambda I{)}^{-1}{Y}^T{C}^{u}p(u)$$
$$y_i=(X^T{C}^{i}X+\lambda I{)}^{-1}{X}^T{C}^{i}p(i)$$
对比经典FM算法的ALS迭代公式为
$$x_u=(Y^{T}Y+\lambda I{)}^{-1}{Y}^{T}r(u)$$
$$y_i=(X^{T}X+\lambda I{)}^{-1}{X}^{T}r(i)$$
其中$r(u),r(i)$分别为$u$和$i$对应的数值评分向量。

最后

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