lda 吗 样本中心化 需要_机器学习 —— 基础整理（四）：特征提取之线性方法——主成分分析PCA、独立成分分析ICA、线性判别分析LDA...

本文简单整理了以下内容：

(一)维数灾难

(二)特征提取——线性方法

1. 主成分分析PCA

2. 独立成分分析ICA

3. 线性判别分析LDA

(一)维数灾难(Curse of dimensionality)

维数灾难就是说当样本的维数增加时，若要保持与低维情形下相同的样本密度，所需要的样本数指数型增长。从下面的图可以直观体会一下。当维度很大样本数量少时，无法通过它们学习到有价值的知识；所以需要降维，一方面在损失的信息量可以接受的情况下获得数据的低维表示，增加样本的密度；另一方面也可以达到去噪的目的。

图片来源：[1]

有两种办法试图克服这个问题：首先是特征提取(Feature extraction)，通过组合现有特征来达到降维的目的；然后是特征选择，从现有的特征里选择较小的一些来达到降维的目的。下面开始介绍特征提取。

(二)特征提取——线性方法

首先约定一下记号：

样本矩阵 $X=(textbf x_1,textbf x_2,...,textbf x_N)=({textbf x^{(1)}}^{top};{textbf x^{(2)}}^{top};...;{textbf x^{(d)}}^{top})inmathbb R^{dtimes N}$ ，$X_{ij}=x_i^{(j)}$；

$N$ 是训练集的样本数，每个样本都表示成 $textbf x_iinmathbb R^d$ 的列向量；如果出现了 $textbf x$ 这样没有上下标的记号就泛指任一样本，相当于省略下标；

$d$ 是特征的维数，每维特征都表示成 $textbf x^{(j)}inmathbb R^N$ 的列向量；如果出现了 $x^{(j)}$ 这样的记号就泛指任一样本的第 $j$ 维特征，相当于省略下标；

降维之后的样本矩阵 $Zinmathbb R^{ktimes N}$ ，$k$ 是降维之后的特征维数，每个样本被降维后都表示成 $textbf z_iinmathbb R^k$ 的列向量。

一、主成分分析(Principal component analysis，PCA)

PCA可谓是非常常用的一种线性降维方式，比如在人脸识别中的“特征脸”(Eigenfaces)。降维之后的每个“新”特征都被称为主成分。这是一种无监督的降维方法，没有用到样本的标记信息。

下图是一个二维的例子，图示的两个方向为两个主成分的基底，我们可以通过PCA将它降成一维，也就是只保留一个基底。

图片来源：[6]

PCA是一种线性方法，它将原始数据 $X$ 通过变换矩阵 $Winmathbb R^{dtimes k}$ 投影到低维空间，

$$Z=W^{top}X=(textbf z_1,textbf z_2,...,textbf z_N)=({textbf z^{(1)}}^{top};{textbf z^{(2)}}^{top};...;{textbf z^{(d)}}^{top})inmathbb R^{dtimes N}$$

对于每个样本来说都有 $textbf z_i=W^{top}textbf x_i$ 。将变换矩阵表述成 $W=(textbf w_1,textbf w_2,...,textbf w_k)$ ，这是低维空间的一组标准正交基，每一列 $textbf w_iinmathbb R^d$ 与其他列之间是互相正交的，而列本身的模为1。

$textbf z_i=W^{top}textbf x_i$ 的分量表示为

$$z_i^{(j)}={textbf w_j}^{top}textbf x_i,quad j=1,2,...,d$$

可以直观看出，每个新的特征都是原先全部特征的线性组合。

现在的问题是，怎样确定出变换矩阵 $W$ 。PCA的基本做法是，在原始数据(一般要去均值)的协方差矩阵做特征值分解(实对称矩阵一定能找到一个正交矩阵使其对角化，这个正交矩阵正是由其特征值对应的特征向量所组成)，将特征值从大到小排序，其中最大的特征值 $lambda_1$ 所对应的特征向量 $textbf w_1$ 作用在样本 $textbf x_i$ 所得到的“新”特征 $textbf z^{(1)}$ 称为第一主成分，随后是第二主成分 $textbf z^{(2)}$，第三主成分……，只保留 $k$ 个主成分，构成样本 $textbf x_i$ 降维后的表示 $textbf z_i=(z_i^{(1)},z_i^{(2)},...,z_i^{(k)})^{top}$ 。$k$ 的值可通过下式来确定：

$$frac{sum_{1=1}^klambda_i}{sum_{1=1}^dlambda_i}geq 95%$$

1. 下面将首先从最大投影方差的角度阐述PCA的思想。

假设训练集样本的每一维特征都进行了去均值处理，也就是中心化，使得 $sum_{i=1}^Ntextbf x_i=textbf 0$(需要注意，测试集的样本在做去均值操作时去掉的是训练集的均值，所以这个操作中得到的训练集的均值向量要保留)。

考虑到降维到 $k$ 维的情况：希望投影后的每一维都尽可能地分开。

不妨先实现一个小目标：我们需要降维到一维，样本点在投影到一维之后，能够尽可能地“分开”——也就是投影后的方差最大。这时变换矩阵 $W$ 退化为一个向量 $textbf w_1$ ，样本 $textbf x_i$ 投影的结果为 $textbf z_i =textbf w_1^{top}textbf x_iinmathbb R$。投影后的方差为：

$$begin{aligned}&frac{1}{N-1}sum_{i=1}^N(textbf z_i - boldsymbolmu(textbf z_i))(textbf z_i - boldsymbolmu(textbf z_i))^{top}\=&frac{1}{N-1}sum_{i=1}^Ntextbf z_itextbf z_i^{top}\=&frac{1}{N-1}sum_{i=1}^N(textbf w_1^{top}textbf x_i)(textbf w_1^{top}textbf x_i)^{top}\=&textbf w_1^{top}(frac{1}{N-1}sum_{i=1}^Ntextbf x_itextbf x_i^{top})textbf w_1\=&textbf w_1^{top}varSigma_Xtextbf w_1end{aligned}$$

这里，$varSigma_X=frac{1}{N-1}sum_{i=1}^Ntextbf x_itextbf x_i^{top}=frac{1}{N-1}XX^{top}$ 。因为原始数据作了去均值处理，所以其实就是去均值之后的样本的协方差矩阵。

这里顺便写一下投影后的样本的协方差矩阵(这个形式和高斯分布经线性变换后的协方差矩阵形式一样，即原始数据的二次型)：

$$varSigma_Z=frac{1}{N-1}sum_{i=1}^Ntextbf z_itextbf z_i^{top}=frac{1}{N-1}ZZ^{top}=W^{top}varSigma_X W$$

它的对角线元素就代表了各维的方差，PCA的优化目标是 $max_Wquadtext{tr}(W^{top}varSigma_X W)$ ，约束是 $W^{top}W=I$ ，然后用拉格朗日乘数法求解，但我觉得这样不直观，还是从降维到一维入手。

为了实现上面降维到一维后方差最大的这个小目标，我们需要求解如下的约束最优化问题：

$$max_{textbf w_1}quadtextbf w_1^{top}varSigma_Xtextbf w_1$$

$$text{s.t.}quadquad|textbf w_1|=1$$

使用拉格朗日乘数法，那么问题的解就是拉格朗日函数 $L$ 的偏导数等于零这个方程的解：

$$L=textbf w_1^{top}varSigma_Xtextbf w_1-lambda(textbf w_1^{top}textbf w_1-1)$$

$$frac{partial L}{partial textbf w_1}=2varSigma_Xtextbf w_1-2lambdatextbf w_1=0$$

$$varSigma_Xtextbf w_1=lambdatextbf w_1$$

所以问题的解需要是 $varSigma_X$ 的特征向量。优化目标 $textbf w_1^{top}varSigma_Xtextbf w_1=textbf w_1^{top}lambdatextbf w_1=lambda$ ，若要使它最大化，便要使 $lambda$ 最大化。所以问题的解是 $varSigma_X$ 的最大特征值所对应的特征向量。

现在已经证明了，第一主成分怎样得来。那么考虑到 $k$ 个主成分的情况：如何证明，最大的 $k$ 个特征值对应的特征向量所组成的矩阵 $W$ ，满足投影后的各维方差都尽可能大？

当然是数学归纳法：现在 $k=1$ 时成立(归纳基础)，我们假设 $k=m$ 时成立，只要论证出 $k=m+1$ 时仍成立，那结论就是成立的。

现在已知 $textbf w_1,textbf w_2,...,textbf w_m$ 是一组在新空间的维度为 $m$ 下满足投影方差最小的基底。$textbf w_{m+1}$ 要满足的条件有：

(1) 模为1，$|textbf w_{m+1}|=1$；(2) 与 $textbf w_1,textbf w_2,...,textbf w_m$ 都正交，$textbf w_{m+1}^{top}textbf w_j=0$ ；(3) $textbf w_{m+1}^{top}X$ 的方差最大

写成约束最优化的形式，就是

$$max_Wquad textbf w_{m+1}^{top}varSigma_Xtextbf w_{m+1}$$

$$ begin{aligned} text{s.t.}quad & |textbf w_{m+1}|=1 \& textbf w_{m+1}^{top}textbf w_j=0,quad j=1,2,...,m end{aligned} $$

使用拉格朗日乘数，可得

$$L=textbf w_{m+1}^{top}varSigma_Xtextbf w_{m+1}-lambda (textbf w_{m+1}^{top}textbf w_{m+1}-1)-sum_{j=1}^meta_jtextbf w_{m+1}^{top}textbf w_j$$

$$frac{partial L}{partial textbf w_1}=2varSigma_Xtextbf w_{m+1}-2lambdatextbf w_{m+1}-sum_{j=1}^meta_jtextbf w_j=0$$

将等式两边依次右乘 $textbf w_j, j=1,2,...,m$ ，就可以依次得到 $eta_j=0, j=1,2,...,m$，所以有

$$varSigma_Xtextbf w_{m+1}=lambdatextbf w_{m+1}$$

这样就论证了 $textbf w_{m+1}$ 就是协方差矩阵的第 $m+1$ 大的特征值所对应的特征向量。

我们重新审视一下 $varSigma_Z=W^{top}varSigma_XW$ 这个式子——如果不降维的话(也就是说 $W$ 是个方阵)，单从空间变换的角度来看，这不正是把协方差矩阵 $varSigma_X$ 对角化吗？

2. 接下来从最小均方重建误差(mean square reconstruction error，MSRE)的角度来理解PCA

我们知道，如果要从 $Z$ 再重建到原先数据所在的空间中，需要做的变换是 $WZ$ 。最小均方重建误差的优化目标为 $min_Wquad|X-WW^{top}X|^2$ ，约束为 $W^{top}W=I$ 。可以推导出，优化目标等价于 $max_Wquadtext{tr}(W^{top}varSigma_X W)$ 。也就是说和最大投影方差的优化目标一致。

3. 其他说明

对于测试集，中心化操作中所减去的均值是训练集的；降维操作中的矩阵使用的是训练集的 $W$ 。所有的预处理、调超参数等操作都不能混入任何测试集的信息，不妨想象：测试集就一个样本。

PCA还有另外若干种理解角度，如高斯随机采样。从这种角度理解可以参考[2]，此外还介绍了PCA在指数族分布上的推广。

变换矩阵 $W$ 可以通过一个单隐层的AutoEncoder来求解，隐层神经元个数就是 $k$ 。

降维效果好坏的比较，应该还是从具体任务上的分类效果孰优孰劣来比较的，就好比中文分词也需要在具体任务上来看。从低维的图里可以看出来，PCA还是比较适合于样本服从高斯分布，有些时候PCA未必有很好的降维效果。

此外，对于数据量很大的情况，需要在线计算协方差矩阵，使得主成分随着新数据的到来而实时更新。方法是Oja’s Rule。

二、独立成分分析(Independent component analysis，ICA)

ICA相比于PCA，其追求的效果是不一样的：ICA寻找的是最能使数据的相互独立的方向，而PCA仅要求方向是不相关的。我们知道，独立可以推出不相关，反之则不可以，而高斯分布的情况下独立等价于不相关。因此ICA需要数据的高阶统计量，PCA则只需要二阶统计量。

图片来源：[6]

简单介绍一下ICA。考虑盲源信号分离的问题：设有 $d$ 个独立的标量信号源发出声音，其在时刻 $t$ 发出的声音可表示为 $textbf s_t=(s_t^{(1)},s_t^{(2)},...,s_t^{(d)})^{top}inmathbb R^d$ 。同样地，有 $d$ 个观测器在进行采样，其在时刻 $t$ 记录的信号可表示为：$textbf x_tinmathbb R^d$ 。认为二者满足下式，其中矩阵 $Ainmathbb R^{dtimes d}$ 被称为mixing matrix，反映信道衰减参数：

$$textbf x_t=Atextbf s_t$$

显然，有多少个采样时刻，就可以理解为有多少个样本；而信号源的个数可以理解为特征的维数。ICA的目标就是从 $textbf x$ 中提取出 $d$ 个独立成分，也就是找到矩阵unmixing matrix $W$ ：

$$textbf s_t=Wtextbf x_t,quad W=A^{-1}$$

图片来源：[1]

将矩阵 $W$ 记为 $W=({textbf w_1}^{top};{textbf w_2}^{top};...;{textbf w_d}^{top})$ ，也就是它的第 $j$ 行是 ${textbf w_j}^{top}$ ，那么 $s_i^{(j)}={textbf w_j}^{top}textbf x_i$ 。(这里的 $W$ 相比于PCA推导中的 $W$ 差一个转置)

在没有其他先验知识的情况下，由于上面式子中的只有观测信号是已知的，故无法求解：

首先是源信号的幅值不确定，导致矩阵 $W$ 随幅值的变化而变化；其次是源信号的顺序不确定，即使是完全相同的两组源信号而仅仅是顺序不同，因为当顺序更改了之后导致矩阵 $W$ 的行排列随之变化，所以无法确定出唯一的矩阵 $W$ 。

再有，源信号不能是高斯分布的。考虑2维情况，$textbf ssim N(textbf 0,I)$ 。由于观测信号 $textbf x_t=Atextbf s_t$ ，根据高斯分布的线性不变性，$textbf xsim N(textbf 0,AIA^{top})=N(textbf 0,AA^{top})$ 。现考虑另外一个mixing matrix $A‘=AR$ ，其中 $R$ 是正交矩阵。则这时的观测信号 $textbf x_t‘=A‘textbf s_t$ ，且$textbf x‘sim N(textbf 0,A‘IA‘^{top})=N(textbf 0,ARR^{top}A^{top})=N(textbf 0,AA^{top})$ ，不同的mixing matrix却得到了相同的观测信号。可见当源信号服从高斯分布时 $W$ 不能唯一确定。从图示可以看出，高斯分布的线性不变性导致ICA失效。

图片来源：[1]，图中的下标对应于本文的上标

现在考虑ICA的求解。之前说过，$d$ 个源信号是相互独立的(且没有噪声)，所以源信号的密度函数可以表示为

$$p_{textbf s}(textbf s)=prod_{j=1}^dp_s(s^{(j)})$$

观测信号 $textbf s_t$ 和观测信号 $textbf x_t$ 的关系是$textbf x_t=Atextbf s_t$，它们的概率密度函数有如下关系：

$$p_{textbf x}(textbf x)=frac{p_{textbf s}(textbf s)}{|A|}=p_{textbf s}(textbf s)|W|$$

可以得到下式

$$p_{textbf x}(textbf x)=|W|prod_{j=1}^dp_s({textbf w_j}^{top}textbf x)$$

现在需要做的是指定 $p_s(cdot)$ 。在没有任何先验知识的情况下，可以指定

$$begin{aligned}p_s(cdot)&=sigma ‘(cdot)\&=(dfrac{1}{1+exp(-cdot)})‘\&=dfrac{exp(-cdot)}{(1+exp(-cdot))^2}\&=sigma(cdot)(1-sigma(cdot))end{aligned}$$

这相当于分布函数是logistic函数，密度函数自然就是它的导函数。这是一个合理的指定，因为在很多问题上都work well；如果有先验知识当然可以指定为其他的形式。

给定 $N$ 个时刻的观测值，使用极大似然估计，得到似然函数为 $L(W)=prod_{i=1}^Np_{textbf x}(textbf x_i)$，进一步得到对数似然函数为

$$l(W)=sum_{i=1}^N(sum_{j=1}^dlog sigma‘({textbf w_j}^{top}textbf x_i)+log |W|)$$

为了求极大值，需要用梯度上升法。根据公式 $dfrac{partial |W|}{partial W}=|W|(W^{-1})^{top}$ 以及 $logsigma‘(cdot)=1-2sigma(cdot)$，可求得对于一个样本的梯度为

$$frac{partial l_{1}}{partial W}=(textbf 1-2sigma({textbf w_j}^{top}textbf x_i))textbf x_i^{top}+(W^{-1})^{top}$$

这里如果logistic函数的自变量为矩阵，就对逐个元素做运算，函数值是阶数相同的矩阵。这样就得到了优化目标对于一个样本的梯度，进而可以用梯度上升法迭代更新最大值。

三、线性判别分析(Linear Discriminant Analysis，LDA)

LDA也称为Fisher判别分析，是从更利于分类的角度来降维，利用到了训练样本的类别标记，追求的是最能够分开各个类别数据的投影方法。从右图可以看出，相比于直接用PCA降维，如果将样本投影到下图所示的直线上则会更利于分类。

LDA在NLP里还指latent Dirichlet allocation(隐狄利克雷分布)，是一种主题模型的简称。不要搞混了。

严格说的话，LDA要求各个类别的协方差矩阵相等，这样可以从贝叶斯决策论的角度推导出LDA分类器的判别函数 $g_i(textbf x)$ 为线性函数(Fisher判别分析则没有协方差矩阵相同的要求)。

图片来源：[3]

若想使得投影后的结果有利于分类，需要从两方面的需求考虑：一方面，投影之后相同类别的样本之间要尽可能近；另一方面，投影之后各个类别之间要尽可能远。

首先考虑二类问题，将 $d$ 维样本投影到一条方向由 $textbf w$ 确定的的直线上。现在的问题就是找出 $textbf w$ 。

一个容易想到的思路是投影后的均值尽可能远。对于第 $i$ 类样本，投影前的均值为 $boldsymbolmu_i=frac{1}{n_i}sum_{textbf xinomega_i}textbf x$ ，投影后的均值为 $widetilde{boldsymbolmu}_i=textbf w^{top}boldsymbolmu_i$，然后使 $|widetildemu_1-widetildemu_2|^2$ 最大化(因为降维后是一维，所以均值向量就是个标量，用了小写字母)。但这样其实是不行的，从下图一看便知：

图片来源：[7]

上述做法的症结在于，同类样本之间显然太远了，它只考虑了第二个需求而没有考虑第一个需求。所以，需要用总类内散度来归一化上述目标。首先定义如下几个概念：

类内散度矩阵(从定义中可看出与协方差矩阵相差一个常数倍)：

$$S_i=sum_{textbf xinomega_i}(textbf x-boldsymbolmu_i)(textbf x-boldsymbolmu_i)^{top}$$

总类内散度矩阵就是所有类别的类内散度矩阵之和：

$$S_W=sum_{i=1}^cS_i$$

类间散度矩阵(式中 $boldsymbolmu=frac1nsum_{textbf x}textbf x$ 为全部数据的均值向量)：

$$S_B=sum_{i=1}^cn_i(boldsymbolmu_i-boldsymbolmu)(boldsymbolmu_i-boldsymbolmu)^{top}$$

总体散度矩阵

$$S_T=S_W+S_B=frac1nsum_{textbf x}(textbf x-boldsymbolmu)(textbf x-boldsymbolmu)^{top}$$

经过变换矩阵 $W$ 后，类内散度矩阵(从形式上可以看出，与高斯分布经过线性变换后的新协方差矩阵的形式是一样的)和类间散度矩阵变为

$$widetilde S_W=W^{top}S_WW$$

$$widetilde S_B=W^{top}S_BW$$

所以优化目标可以写为(因为是一维，所以类内散度矩阵就是个标量，用了小写字母)

$$J=frac{|widetildemu_1-widetildemu_2|^2}{widetilde s_1+widetilde s_2}=frac{textbf w^{top}S_Btextbf w}{textbf w^{top}S_Wtextbf w}$$

特别注意，该式中的 $S_B$ 实际上不是按照上面的定义式来定义的，两类情况下的类间散度矩阵$S_B=(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)^{top}$

该式是两个散度矩阵 $S_B$ 、$S_W$ 的广义瑞利商。

直接令该式的偏导数等于零，可以得到 $S_W^{-1}S_Btextbf w=Jtextbf w$ ，所以可以看作是特征值分解问题。另外，由于 $textbf w$ 的幅值不影响问题的解，所以也可以看作下述约束最优化问题：

$$min_{textbf w}quad -textbf w^{top}S_Btextbf w$$

$$text{s.t.}quad textbf w^{top}S_Wtextbf w=1$$

使用拉格朗日乘数法可求得该问题的解就是下式的解：

$$S_W^{-1}S_Btextbf w=lambdatextbf w$$

在这个问题中，其实没必要做特征值分解：

根据$S_B=(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)^{top}$ ，得到 $S_Btextbf w=(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)^{top}textbf w$ ，因为后两个因子的乘积是标量(记作 $a$ )，所以 $S_Btextbf w$ 总是位于 $boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2$ 的方向上，进而有 $lambdatextbf w=aS_W^{-1}(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)$ 。所以可以立刻写出问题的解为

$$textbf w=S_W^{-1}(boldsymbolmu_1-boldsymbolmu_2)$$

这个解有时被称为典范变量(Canonical variable)。

对于多分类问题，设类别个数是 $c$ ，从分类的角度讲是从 $d$ 维空间向 $c-1$ 维空间投影，从降维的角度来说的话是从 $d$ 维空间向 $k$ 维空间投影( $kleq c-1$)。记矩阵 $W=(textbf w_1,...,textbf w_{c-1})inmathbb R^{dtimes(c-1)}$ 。优化目标通常是

$$J=frac{|widetilde S_B|}{|widetilde S_W|}=frac{text{tr}(W^{top}S_BW)}{text{tr}(W^{top}S_WW)}$$

其解的方程如下，最优矩阵 $W$ 的列向量是下列等式中最大特征值对应的特征向量：

$$S_W^{-1}S_Btextbf w_i=lambda_itextbf w_i$$

因为 $S_B$ 是 $c$ 个秩为1或0的矩阵的和，其中只有 $c-1$ 个是独立的，所以 $S_B$ 的秩不会超过 $c-1$ ，也就是说非零特征值至多只有 $c-1$ 个。

参考资料：

[1] 《模式分类》及slides

[2] 66天写的逻辑回归

[3] Dimension Reduction: A Guided Tour

[5]CS229 Lecture notes11：ICA

[6]Assessment of multidimensional functional neuroimaging data model by statistical resampling

[7]A Tutorial on Data Reduction Linear Discriminant Analysis (LDA)

原文：http://www.cnblogs.com/Determined22/p/6357291.html