【提高组NOIP2017】小凯的疑惑（附证明）

小凯的疑惑

描述
小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。 每种金币小凯都有 无数个。 在不找零的情况下， 仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。 现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？ 注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品

输入
输入数据仅一行， 包含两个正整数 a 和 b， 它们之间用一个空格隔开， 表示小凯手中金币的面值
输出
输出文件仅一行，一个正整数 N，表示不找零的情况下， 小凯用手中的金币不能准 确支付的最贵的物品的价值。

样例输入
3 7
样例输出
11

【输入输出样例 1 说明】 小凯手中有面值为 3和 7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为 1、 2、 4、 5、 8、 11 的物品，其中最贵的物品价值为 11，比 11 贵的物品都能买到，比如：
12 = 3 * 4 + 7 * 0
13 = 3 * 2 + 7 * 1
14 = 3 * 0 + 7 * 2
15 = 3 * 5 + 7 * 0
……

【数据规模与约定】
对于 30%的数据： 1 ≤ a， b ≤ 50。
对于 60%的数据： 1 ≤ a， b ≤ 10,000。
对于 100%的数据： 1 ≤ a， b ≤ 1,000,000,000。

Analysis

水题？？？
为什么我觉得不好想啊……证明辣么难

但各路大神纷纷表示打表打表打表
遇到数学问题就打表找规律
然后的然后就显而易见了
$$ans=a\ast b-(a+b)$$

可我还是不服啊，为什么为什么为什么？？？
来乱胡证明一下，可以反证试一下：
假设存在一组正整数解使得$ax+by=a\ast b-a-b$
则$a(x+1)+b(y+1)=ab$
发现 $b|(x+1),a|(y+1)$（因为只有这样左边才可能含有a*b）
又因为$x>=0,y>=0$
–> $x+1>=1,y+1>=1$
–> $a(x+1)+b(y+1)>=a\ast b+b\ast a=2\ast ab$
又已知$a(x+1)+b(y+1)=ab$，则假设不成立，找不出一组解使得
$$ax+by=a\ast b-a-b$$

那为什么大于这个$a\ast b-a-b$的数又可以全部被凑出来呢？？
（这段证明摘自这里）
对于任意正整数C>=ab−a−b+1
即C+a+b>=ab+1
设C+a+b=ka+m(k>=b,1<=m<=a−1)
注意到(a,b)=1
由裴蜀定理，知存在x0,y0∈Z使得
ax0+by0=1
故存在x1,y1∈Z，−(b−1)<=x1<=−1
使得ax1+by1=m
(解释一下，这里的意思其实是设−(b−1)<=x1<=−1，一定存在整数y1y1使得ax1+by1=m成立。原因就是在整数x1的取值中一共有b−1个数，y1=(m−ax1)/b，总是可以找到x1使得m−ax1能被b整除）
显然，y1>=1(ax1<0,m>0,b>0因此y1>=1)
于是，取x=k+x1−1,y=y1−1
注意到x1,y1的取值范围，得x,y>=0
得ax+by=C
所以任意C>=ab−a−b+1都存在x,y>=0,ax+by=C
证毕

Code

还需要放？？？
当然不用

最后

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