【LeetCode】39. 组合总和 & 40. 组合总数 II & 216. 组合总和 III & 1~n 这n个数组合成 m

一、组合总和（可以重复选择）

1.1 题目描述

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为：
[
  [7],
  [2,2,3]
]

示例 2：

输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为：
[
  [2,2,2,2],
  [2,3,3],
  [3,5]
]

提示：

1 <= candidates.length <= 30
1 <= candidates[i] <= 200
candidate 中的每个元素都是独一无二的。
1 <= target <= 500

1.2 解题思路 & 代码

参考：LeetCode题解

回溯算法 + 剪枝

from typing import List


class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        size = len(candidates)
        if size == 0:
            return []

        # 剪枝是为了提速，在本题非必需
        candidates.sort()
        # 在遍历的过程中记录路径，它是一个栈
        path = []
        res = []
        # 注意要传入 size ，在 range 中， size 取不到
        self.__dfs(candidates, 0, size, path, res, target)
        return res

    def __dfs(self, candidates, begin, size, path, res, target):
        # 先写递归终止的情况
        if target == 0:
            # Python 中可变对象是引用传递，因此需要将当前 path 里的值拷贝出来
            # 或者使用 path.copy()
            res.append(path[:])
            return

        for index in range(begin, size):
            residue = target - candidates[index]
            # “剪枝”操作，不必递归到下一层，并且后面的分支也不必执行
            if residue < 0:
                break
            path.append(candidates[index])
            # 因为下一层不能比上一层还小，起始索引还从 index 开始
            self.__dfs(candidates, index, size, path, res, residue)
            path.pop()


if __name__ == '__main__':
    candidates = [2, 3, 6, 7]
    target = 7
    solution = Solution()
    result = solution.combinationSum(candidates, target)
    print(result)

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二、组合总和 II（不可以重复选择）

2.1 题目描述

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明：
所有数字（包括目标数）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
所求解集为:
[
  [1, 7],
  [1, 2, 5],
  [2, 6],
  [1, 1, 6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
所求解集为:
[
  [1,2,2],
  [5]
]

2.2 解题思路 & 代码

参考：LeetCode题解

回溯算法 + 剪枝

编码的不同在于下一层递归的起始索引不一样。

第 39 题：还从候选数组的当前索引值开始。
第 40 题：从候选数组的当前索引值的下一位开始。

相同之处：解集不能包含重复的组合。

为了使得解集不包含重复的组合。我们想一想，如何去掉一个数组中重复的元素，除了使用哈希表以外，我们还可以先对数组升序排序，重复的元素一定不是排好序以后的第 1 个元素和相同元素的第 1 个元素。根据这个思想，我们先对数组升序排序是有必要的。候选数组有序，对于在递归树中发现重复分支，进而“剪枝”也是有效的。

from typing import List


class Solution:

    def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        def dfs(begin, path, residue):
            if residue == 0:
                res.append(path[:])
                return

            for index in range(begin, size):
                if candidates[index] > residue:
                    break

                if index > begin and candidates[index - 1] == candidates[index]:
                    continue

                path.append(candidates[index])
                dfs(index + 1, path, residue - candidates[index])
                path.pop()

        size = len(candidates)
        if size == 0:
            return []

        candidates.sort()
        res = []
        dfs(0, [], target)
        return res

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三、组合 III

3.1 题目描述

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

3.2 解题思路 & 代码

回溯 + 剪枝

1. 初试化结果数组 $res$
2. 定义回溯函数 $help(count,i,tmp,target)$，其中 $count$ 表示当前已经使用的数字数，$i$ 表示当前访问的数字，$tmp$ 表示当前中间结果，$target$ 表示下一步的目标和。
   1）若 $count==k$，说明已经使用了 $k$ 个数：
   2）若 $target==0$，表示 $tmp$ 的和等于$n$，将 $tmp$ 加入 $res$。
   3）$return$
3. 遍历区间 $[i,10)$：
   1）剪枝，若 $j>target$，说明接下来的数字都比目标和大， $break$
   2）执行回溯 $help(count+1,j+1,tmp+[j],target-j)$
4. 执行 $help(0,1,[],n)$
5. 返回 $res$

class Solution:
    def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:
        res=[]
        def helper(count,i,tmp,target):
            # print(count,i,tmp,target)
            if(count==k):
                if(target==0):
                    res.append(tmp)
                return
            for j in range(i,10):
                if(j>target):
                    break
                helper(count+1,j+1,tmp+[j],target-j)
        helper(0,1,[],n)
        return res

复杂度分析

1. 时间复杂度：$O(n!)$，进行了一次遍历。
2. 空间复杂度：$O(1)$

参考：

1. LeetCode题解

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四、1~n 这n个数组合成 m

4.1 题目描述

1~n 一共 n 个数，随机取出某些数形成组合，求和为 m，打印所有的组合方式

4.2 解题思路 & 代码

参考：寻找组合数，求出从整数1到n中和为m的所有组合

采用背包问题原理，仅考虑具有最大的数字n是否存在与结果集合中，考虑以下两种情形：

（1）n在集合中，剩下的n-1个数字需要组成一个和为n-m的组合；

（2）n不在集合中，剩下的n-1个数字仍需要组成和为m的组合；

由于需要给出所有的组合可能，因此是一个回溯的过程。

算法设计思路：

由于是个回溯递归的过程，因此需要首先给出递归终止条件：当需要求和的数字小于等于0或所有数字都用完了的时候，就是程序终止的时候。

用一个列表数组item存储当前的候选集合，result列表存放最终的满足条件的结果，当满足条件时，将item加入result中。

因此，回溯的代码如下：

def find_combine(item, n, m, result):
    if n <= 0 or m <= 0:
        return
    if n == m:
        result.append(item + [n])
    item.append(n)
    find_combine(item, n-1, m-n, result)
    item.pop()
    find_combine(item, n-1, m, result)

if __name__ == '__main__':
	n = 9
	m = 10
    item = []
    result = []
    find_combine(item, 9, 10, result)
    for r in result:
        print(r)

最后

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