[洛谷 P1891] 疯狂 LCM (欧拉函数 莫比乌斯反演)

题意：

求

$$\sum _{i=1}^n\text{lcm}(i,n)$$

分析：

法一：欧拉函数

拆一下 $\text{lcm}(i,n)=\frac{i\cdot n}{\gcd (i,n)}$ 变为：

$$\sum _{i=1}^n\frac{i\cdot n}{\gcd (i,n)}$$

枚举 $\gcd (i,n)$：

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{d}[\gcd (i,n)=d]$$

利用 $\gcd$ 的性质：

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{d}[\gcd (\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1]$$

把 $d$ 拿到上界

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }i[\gcd (i,\frac{n}{d})=1]$$

$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$ 等价于 $d$

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{d}i[\gcd (i,d)=1]$$

由于 $\gcd (i,d)=\gcd (d-i,d)$ ，所以因子必成对出现（除了1），那么总共出现了 $\frac{\phi (d)}{2}$ 次，$d-i+i=d$，所以就是

$$n\sum _{d\mid n}\frac{\phi (d)}{2}d$$

这样时间复杂度是 $O(N+T\sqrt{n})$，但是可以用狄利克雷卷积优化，可以做到 $O(N\log N+T)$

设 $F(x)=\frac{x\cdot \phi (x)}{2}$

则答案为 $n\cdot F\ast \text{1}$，注意处理 $d=1$ 的情况。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int T, n, primes[N], euler[N], cnt, res, f[N];
bool st[N];
void get_eulers(int n) {
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
if (!st[i]) {
primes[cnt ++] = i;
euler[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++) {
int t = primes[j] * i;
st[t] = 1;
if (i % primes[j] == 0) {
euler[t] = primes[j] * euler[i];
break;
}
euler[t] = (primes[j] - 1) * euler[i];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = i; j <= n; j += i) {
f[j] += (euler[i] * i + 1) / 2;
}
}
}
signed main() {
get_eulers(N - 1);
cin >> T;
while (T --) {
cin >> n;
cout << n * f[n] << endl;
}
}

法二：莫比乌斯反演

还是法一的式子，推到这一步

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{d}i[\gcd (i,d)=1]$$

用单位函数替换

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{d}i\cdot \epsilon (\gcd (i,d))$$

莫比乌斯反演

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{d}i\sum _{k\mid \gcd (i,d)}\mu (k)$$

交换枚举次序

$$n\sum _{d\mid n}\sum _{k\mid d}k\mu (k)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{d}{k}\rfloor }i$$

对后半部分求和

$$\frac{n}{2}\sum _{d\mid n}\sum _{k\mid d}k\mu (k)(\lfloor \frac{d}{k}{\rfloor }^2+\lfloor \frac{d}{k}\rfloor )$$

可以用狄利克雷卷积优化到 $O(N\log N+T)$

设 $f(x)=x\cdot \mu (x)$ ，$g(x)=x^2+x$，$F(x)=f\ast g$

那么答案就为：

$$\frac{n}{2}\cdot F\ast \text{1}$$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int T, n, mobius[N], primes[N], cnt, F[N], ans[N];
bool st[N];
void get_mobius(int n) {
mobius[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
if (!st[i]) {
primes[cnt ++] = i;
mobius[i] = -1;
}
for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j ++) {
int t = primes[j] * i;
st[t] = 1;
if (i % primes[j] == 0) {
mobius[t] = 0;
break;
}
mobius[t] = -mobius[i];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = i; j <= n; j += i) {
F[j] += i * mobius[i] * ((j / i) * (j / i) + (j / i));
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = i; j <= n; j += i) {
ans[j] += F[i];
}
}
}
signed main() {
get_mobius(N - 1);
cin >> T;
while (T --) {
cin >> n;
cout << n * ans[n] / 2 << endl;
}
}

最后

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