LeetCode：动态规划中的多重背包问题【一个模板解决所有~】

PS. 0-1背包问题无疑是动态规划题目里面的非常经典的一类题目了，下面给出这类题目的一种解题模板。本文是参考代码随想录做的一些笔记，完整版本请戳链接。

标准完全背包问题

标准的完全背包问题：有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。在代码写法上，01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上。

01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓！ 因为dp[j]是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

# 先遍历物品，再遍历背包
def test_complete_pack():
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
bag_weight = 4
dp = [0] * (bag_weight + 1)
for i in range(len(weight)):
for j in range(weight[i], bag_weight + 1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
print(dp[bag_weight])

经典题目

518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。假设每一种面额的硬币有无限个。 题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，也就不考虑顺序了。

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。

递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]。前面也说了，一般求个数（组合数）都是这个格式。

dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。

class Solution:
def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
# dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
dp = [0] * (amount + 1)
dp[0] = 1
for i in range(len(coins)):
for j in range(coins[i], amount + 1):
dp[j] += dp[j - coins[i]]
return dp[amount]

Tips：在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

377. 组合总和 Ⅳ

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

顺序不同的序列被视作不同的组合。

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]；递推公式：dp[i] += dp[i - nums[j]]。

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础（这里的初始话其实没有意义）。

个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。上一题已经讲过了。

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有{1,3}这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

class Solution:
def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
# 本题求的是排列数，先遍历背包，后遍历物品
dp = [0] *
(target + 1)
dp[0] = 1
# 必须初始化为1
for i in range(0, target + 1):
# 先遍历背包
for j in range(len(nums)):
# 再遍历物品
if i >= nums[j]:
# 背包容量必须比物品重量大才能放入背包
dp[i] += dp[i - nums[j]]
return dp[target]

70. 爬楼梯【进阶】

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或，2 个，……，m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

本题是爬楼梯的进阶版，其实1阶，2阶，… ，m阶就是物品，楼顶就是背包，这就是一个完全背包问题！

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3]等等，即：dp[i - j]。那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]。

class Solution:
def climbStairs(self, n: int, m: int) -> int:
# m: 每次可以爬m个台阶
if n <= 2:
return n
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
for j in range(1, m + 1):
if i >= j:
dp[i] += dp[i - j]
return dp[n]

m = 2 就可以pass原始的爬楼梯这道题了！

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]。

得到dp[j]只有一个来源，即dp[j - coins[i]]。凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。故递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])。

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0。考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值。

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列。

class Solution:
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
dp = [amount + 1] * (amount + 1)
dp[0] = 0
for i in range(1, amount + 1):
for j in range(len(coins)):
if i >= coins[j]:
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)
if dp[amount] == amount + 1:
return -1
return dp[amount]

279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]。

dp[j]可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])。

dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0（题目的意思完全平方数大于0，所以dp[0]为0）。从递归公式中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

class Solution:
def numSquares(self, n: int) -> int:
nums = [i * i for i in range(1, n + 1) if i * i <= n]
# 物品
dp = [10 ** 4] * (n + 1)
dp[0] = 0
for i in range(len(nums)):
# 物品
for j in range(nums[i], n + 1):
# 背包
dp[j] = min(dp[j], dp[j - nums[i]] + 1)
return dp[n]

139. 单词拆分（????????）

给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s，就是问物品能不能把背包装满。拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个完全背包！

dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

从递归公式中可以看出，dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递归的根基，dp[0]一定要为true，否则递归下去后面都都是false了。

本题使用求排列的方式，还是求组合的方式都可以。但因为是要求子串，最好是遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。如果要是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包，就需要把所有的子串都预先放在一个容器里。

class Solution:
def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:
dp = [False] * (len(s) + 1)
dp[0] = True
for i in range(len(s) + 1):
# 背包
for word in wordDict:
# 物品
if i >= len(word):
dp[i] = dp[i] or dp[i - len(word)] and word == s[i - len(word): i]
return dp[len(s)]

最后

以上就是震动含羞草为你收集整理的LeetCode：动态规划中的多重背包问题【一个模板解决所有~】的全部内容，希望文章能够帮你解决LeetCode：动态规划中的多重背包问题【一个模板解决所有~】所遇到的程序开发问题。

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