一类DP问题的分析（划分DP）

Preface

姑且让我把它叫做划分DP，以$Stirling$数为引。

Stirling数

第二类$Stirling$数烂大街了，还是有必要从第一类$Stirling$数讲起。

• 第一类
  $n$个各异的小球形成$k$个非空环排列的方案数
  $s(n,k)=s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k)$
  第一项为该小球单独形成一个环排列的方案数，第二项为该小球插入任何一个小球前面的方案数。
• 第二类
  $n$个各异的小球分到$k$个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空。
  $S(n,k) = S(n-1,k-1) + k*S(n-1,k)$
  第一项为该小球单独放入一个空盒的方案数，第二项为该小球放入任何一个有球盒子的方案数。
  P.S.盒子各不相同只要乘以$k！$即可。

小结：都是考虑“1对1”的方案实现转移，递推式类似。

NOIP2001数的划分及扩展

• 原题
  题意简述：$n$个相同的小球分到$k$个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空。
  $F(n,k) = F(n-1,k-1) + F(n-k,k)$
  第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。
• 变形1
  $n$个相同的小球分到若干个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空且任意一个盒子中小球数不超过$k$。
  反转问题，把每个盒子中第$i$个小球放入$i$号盒，那盒子数不能超过$k$，$ans=sum_{i=1}^{k}f(n,i)$
• 变形2
  附加条件：盒子内小球数必须为奇数。
  设$G(n,k)$为盒子内小球数均为偶数的方案数，设$F(n,k)$为盒子内小球数均为奇数的方案数。
  $G(n,k) = F(n-k,k)$
  $F(n,k)=F(n-1,k-1)+G(n-k,k)$
  第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。
• 变形3
  附加条件：盒子内小球数互不相同。
  设$F(n,k)$为方案数。
  $F(n,k) = F(n-k,k-1) + F(n-k,k)$
  第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。
• 变形4
  二次幂和问题 POJ 2229
  附加条件：每个盒子内的小球数必须为$2$的幂，$(nleqslant 100,0000)$
  $F(n) = F(n-1);;(n;and;1=1)$
  $F(n) = F(n-2)+F(n/2);;(n;and;1=0)$
  第一项为存在两个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。

小结：还是考虑是否存在 1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7798">1</script> 的问题，可以结合柱状图进行分析，推导时注意不重不漏。

P.S.有类似变形问题欢迎留言补充，有错误请指正谢谢。

最后

以上就是激动柚子为你收集整理的一类DP问题的分析（划分DP）的全部内容，希望文章能够帮你解决一类DP问题的分析（划分DP）所遇到的程序开发问题。

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