我是靠谱客的博主 忧伤电脑,这篇文章主要介绍二重积分换元法,现在分享给大家,希望可以做个参考。

重积分 I = ∬ D f ( x , y ) d x d y I=iint_Df(x,y)dxdy I=Df(x,y)dxdy
换成 x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) x=x(u,v),y=y(u,v) x=x(u,v),y=y(u,v)以后
I = ∬ D ′ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) 1 ∣ J ∣ d u d v I=iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))frac{1}{|J|}dudv I=Df(x(u,v),y(u,v))J1dudv
其中J是J(u,v)雅各比行列式具体是
J ( u , v ) = ∣ u x u y v x v y ∣ J(u,v)= begin{gathered} begin{vmatrix} u_x & u_y \ v_x & v_yend{vmatrix} quad end{gathered} J(u,v)=uxvxuyvy
一个难点是如何换区域:就是把原来的界限用u,v表示,切勿带边界点,因为边界点可能转换后可能不在边界上了。

极坐标换元
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r d θ iint_Df(x,y)dxdy=iint_Df(rcostheta,rsintheta)rdrdtheta Df(x,y)dxdy=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
主意极点在区域内,边界和区域外三种情况角度的取值。

最后

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