重积分
I
=
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
I=iint_Df(x,y)dxdy
I=∬Df(x,y)dxdy
换成
x
=
x
(
u
,
v
)
,
y
=
y
(
u
,
v
)
x=x(u,v),y=y(u,v)
x=x(u,v),y=y(u,v)以后
I
=
∬
D
′
f
(
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
)
1
∣
J
∣
d
u
d
v
I=iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))frac{1}{|J|}dudv
I=∬D′f(x(u,v),y(u,v))∣J∣1dudv
其中J是J(u,v)雅各比行列式具体是
J
(
u
,
v
)
=
∣
u
x
u
y
v
x
v
y
∣
J(u,v)= begin{gathered} begin{vmatrix} u_x & u_y \ v_x & v_yend{vmatrix} quad end{gathered}
J(u,v)=∣∣∣∣uxvxuyvy∣∣∣∣
一个难点是如何换区域：就是把原来的界限用u,v表示，切勿带边界点，因为边界点可能转换后可能不在边界上了。
极坐标换元
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
D
f
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
r
d
r
d
θ
iint_Df(x,y)dxdy=iint_Df(rcostheta,rsintheta)rdrdtheta
∬Df(x,y)dxdy=∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
主意极点在区域内，边界和区域外三种情况角度的取值。
最后
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