今天看到一道二重积分题;
半球面投影到正方形区域,正方形区域平均分成n*n份,每份所对应的球的面积? 比如,一个半径为1的半球,面积为2*pi,投影到一个2*2的正方形区域上,然后将该正方形区域平均分成n*n的小正方形区域,求每个小正方形区域所对应的半球面上的面积。(四个边角没有投影到,但是依旧有小正方形)。
求面积自然是二重积分:
关键是计算用的区域在边缘处可能有不规则的, 从而需要在不规则区域上计算二重积分; 示意图为:
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7qquadqquadqquadqquad Let the surface be: $z=f(x,y)$, area $S$ of the surface on $;forall;(x,y)in D_{xy}$ satisfies: [ S=iintlimits_{D_{xy}}sqrt{1+left(frac{partial{f}}{{partial{x}}}right)^2 + left(frac{partial{f}}{{partial{y}}}right)^2}{rm d}x{rm d}y ] qquadqquadqquadqquad Let the sphere be: $x^2+y^2+(z-1)^2=1$, then lower semi-sphere surface is: [z=f(x,y)= 1-sqrt{1-x^2-y^2}]
最后
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