数学基础知识02——旋转轴、旋转角度和旋转矩阵

 

旋转角度

已知两向量a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2),

两向量的旋转角度，可以通过点乘获得

a•b=|a|*|b|*cosθ

通过cosθ反转可求得旋转角度

 

 

旋转轴

两个（不平行）的向量，决定一个平面，

而平面内任意向量，都可以通过旋转角度θ获得，所以，该平面的法向量一定是旋转轴（旋转轴不一定是该平面的法向量）

而法向量可以通过两向量的叉乘得到，可参考

数学基础知识01

 

旋转矩阵

（旋转矩阵）是基于（旋转轴）和（旋转角度）推导出来的

 

具体推导公式，可参考前辈的以下网址

http://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html

 

推导出来的（旋转矩阵）为

公式说明

假设（旋转轴）的向量n=(n_x, n_y, n_z);

I是单位矩阵，A是向量n的反对称矩阵，即

反对称矩阵如何求，详情可看

数学基础知识01

而θ旋转角度

 

最后求出的旋转矩阵如下

通过旋转矩阵可以求出（向量a）绕（旋转轴）旋转（角度θ）得到的（向量b）

设3X3的（旋转矩阵）为R

v' = Rv

 

 

除此之外，在后面会遇到一种特殊的情况，（摄像机的移动）

已知（旋转轴向量n），已知（需要旋转的向量a），已知（需要旋转的向量a，逆时针旋转90度得到的向量b）

而且（向量n）是，（向量a）和（向量b），所在平面的法向量

通过旋转矩阵，我们可以得到

化简整合有

当（向量n）是法向量的时候，我们可以清楚地看见

所以

把v_x2代入公式，有

同理，把新得到的向量，逆时针旋转90度，可以获得，向量b旋转同样角度后，得到的新向量

由x坐标变化，我们可以轻易获得向量变化之后的，y坐标 和 z坐标