【动态规划】完全背包问题-疯狂的采药

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我是靠谱客的博主淡定冰淇淋，最近开发中收集的这篇文章主要介绍【动态规划】完全背包问题-疯狂的采药，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

什么是完全背包问题？

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。

第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。这里不同之处是每件物品可无限取，这里就产生了很多可行的优化，比如同体积的有多种物品，则必然可以舍弃价值小的，也可以舍弃体积大于v的。

比较一下01背包问题：

在M件物品中取出若干件物品放到背包中，每件物品对应的体积v1,v2,v3,….对应的价值为w1,w2,w3,，每件物品之多拿一件。

二者的区别就是01背包里每件物品至多只能拿一件，而完全背包问题中每件物品可以无限拿。

01背包问题的解决思路是：第i件物品是否放入背包，取决于总价值的大小。
状态转移方程：f[j]=max(f[j],f[j-ti[i]]+v[i]);

for(int i=1;i<=m;i++)
for(j=t;j>=t[i];j--)//从右到左计算 
f[j]=max(f[j],f[j-ti[i]]+p[i]);

完全背包问题也是同样的思路，只是循环的方式不一样

for(int i=1;i<=m;i++)
for(int
j=ti[i];j<=t;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-ti[i]]+v[i]);

下面的题目就是一个完全背包问题

题目描述

LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

1.每种草药可以无限制地疯狂采摘。

2.药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间（包括1和10000）的整数，分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例
输入 #1
70 3
71 100
69 1
1 2
输出 #1
140

代码：

#include<iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int t,m;
int ti[10001],v[10001];
int f[100001];
//这是一个完全背包问题
//大概明白了，与01背包不同的是完全背包问题中每件物品的数量是无限的
//01背包每件物品只有一个 ，就放一次 
//状态转移方程到底是怎么列出来的明白了，就是这个东西放还是不放的问题
//为什么，一个顺序一个逆序结果就不同了？ 需要在捉摸一下
int main(){
cin>>t>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
cin>>ti[i]>>v[i];
//完全背包的状态转移方程 
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int
j=ti[i];j<=t;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-ti[i]]+v[i]);
//01背包的状态转移方程
//for(int i=1;i<=m;i++)
//for(int j=t;j>=t[i];j--)
//
f[j]=max(f[j],f[j-ti[i]]+v[i]);	
cout<<f[t];
return 0;
}