算法

  用迹求特征多项式的特点是计算量特别大，性能不高，为此Faddeev和Laverrier两人研究出了更好的求特征多项式的算法。这种算法是一种迭代法，通过创建一个矩阵系列$B_k$来实现。初始定义$B_1=A$，然后按以下公式递推：
$$\begin{gathered} B_k=A(B_{k-1}-c_{k-1}E) \\ {c}_k=\frac{1}{k}tr(B_k) \end{gathered}$$
  最终得到的特征多项式为：
$${\Delta }_A(\lambda )={\lambda }^n-c_1{\lambda }^{n-1}-\cdots -c_k{\lambda }^{n-k}-\cdots -c_n$$
  举个例子，以下矩阵：
A = ( 2 − 4 1 2 3 − 2 1 5 5 ) B 1 = ( 2 − 4 1 2 3 − 2 1 5 5 ) c 1 = 10 B 2 = ( − 23 25 5 − 12 − 39 6 7 − 14 − 34 ) c 2 = − 48 B 3 = ( 105 0 0 0 105 0 0 0 105 ) c 3 = 105 ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − 10 λ 2 + 48 λ − 105 A=begin{pmatrix}2 & -4 & 1\ 2 & 3 & -2\ 1 & 5 & 5\ end{pmatrix}\ B_1=begin{pmatrix}2 & -4 & 1\ 2 & 3 & -2\ 1 & 5 & 5\ end{pmatrix}\ c_1=10\ B_2 = begin{pmatrix}-23 & 25 & 5\ -12 & -39 & 6\ 7 & -14 & -34\ end{pmatrix}\ c_2=-48\ B_3=begin{pmatrix}105 & 0 & 0\ 0 & 105 & 0\ 0 & 0 & 105\ end{pmatrix}\ c_3=105\ |lambda E-A|=lambda^3 -10lambda^2+48lambda-105 A= ​221​−435​1−25​ ​B1​= ​221​−435​1−25​ ​c1​=10B2​= ​−23−127​25−39−14​56−34​ ​c2​=−48B3​= ​10500​01050​00105​ ​c3​=105∣λE−A∣=λ3−10λ2+48λ−105

Python实现

  算法比较简单，所以代码也相对较短。

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def faddeev_laverrier(self):
n = len(self.__vectors)
b = []
c = []
b.append(self)
c.append(self.trace(1))
e = Matrix(Matrix.unit_matrix(n))
for i in range(1, n):
b_k = self * (b[i - 1] - e * c[i - 1])
print('b',i,'=', b_k.to_latex())
b.append(b_k)
c.append(1 / (i + 1) * b_k.trace(1))
return [1] + [-e for e in c]

最后

以上就是复杂未来最近收集整理的关于5.3 Faddeev-Leverrier算法求特征多项式算法Python实现的全部内容，更多相关5.3内容请搜索靠谱客的其他文章。