第十一章 曲线（面）积分

第一节 第一型曲线积分

引入——线密度：

在工业生产中，对一些比较精细的部件，就不会像普通的部件那样每一部分的密度都是均匀的，而是说每一部分的密度与其所处的几何位置有关（呈函数关系）
$${\rho }_{线}=\mu (x,y)$$
同时，至于为什么要引入线密度，当这个部件足够”细“的时候呢，厚度我们可以忽略，那么我们就只用研究三维的问题（x，y，密度）就不用研究四维问题（x，y，h，密度），减少了研究问题的难度。

在这条曲线L上，我们还是用老四样：无限分割，近似取极限,同时用一个点代表每一个小段：
$$M=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i$$
跟从积分一样的处理方式，让小弧长的最大值趋近于0：
λ = m a x { Δ S 1 , Δ S 2 , Δ S 3 , . . . . . . Δ S n } λ → 0 lambda=max{Delta S_1,Delta S_2,Delta S_3,......Delta S_n}\ lambdato 0 λ=max{ΔS1​,ΔS2​,ΔS3​,......ΔSn​}λ→0

一.定义：

我们把在曲线L上的对弧线的曲线积分（第一类曲线积分）记作：
$${\int }_{L}f(x,y)dS$$
即：
$${\int }_{L}f(x,y)dS=\underset{\lambda \to 0}{\lim }f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i$$
其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段：

以此类推到空间弧线积分：
$${\int }_{R}f(x,y,z)ds=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$$

二.性质（老三样）

1.常值可加减性

2.区间可加性

3.同积分区域可比性

三.物理意义和几何意义

1.物理意义

当:
$$f(x,y)$$
代表的是密度与空间位置的关系的时候，物理意义是质量

2.几何意义：

当：
$$f(x,y)$$
代表的是:
$$z=f(x,y)$$
z与x，y位置关系的时候，

代表的是：如果在L上f(x,y)>=0，曲线积分代表以z为高，L为准线，母线平行于z轴的柱面面积。

四.对弧长的曲线积分的计算方式——“化参统一”法

简单的来说，我们在上册的时候讲到过，对于足够段的弧长L，我们可以将其近似看作一个线段
$$s=\sqrt{x^2+y^2}$$
那么在微分上的表现形式就是：
$$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$$
那么我们现在就解决了表达式中
$$\Delta S$$
的问题，即
$$dS=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$$
但是我们发现还有最后一个问题——积分变量不统一，但是根据曲线L的方程就得到了y与x的关系——y=g(x)，所以：
$$dS=\sqrt{(dx{)}^2+(dg(x){)}^2}$$
那么：
$${\int }_{S}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x,g(x))\sqrt{(dx{)}^2+(dg(x){)}^2}$$
注意：

​ 1.当然，如果你想找一个第三者同时表示x，y的话也行，就是我们说的参数方程:
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{c}x=\varphi (x)\\ y=\psi (x)\end{array} \\ {\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (x),\psi (x)]\sqrt{{\varphi }^{\prime }(x{)}^2+{\psi }^{\prime }(x{)}^2}dt(\alpha <\beta ) \end{gathered}$$
​ 2.一样的也可以推到到空间当中：
$${\int }_{R}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (x),\psi (x),\omega (x))\sqrt{{\varphi }^{\prime }(x{)}^2+{\psi }^{\prime }(x{)}^2+{\omega }^{\prime }(x{)}^2}dt$$

第二节 第二型曲线积分

引入：在高中物理中，我们有些时候会对一个力求其做的功，但是这种是恒力做功，对于变力做功我们又该如何去解决呢？

对于一个xOy面内的质点，其收到力
$$F(x,y)=P(x,y)i^{-}+Q(x,y)j^{-}$$
的作用从A沿光滑曲面L移动到B，求力F做的功

求解方式：老四样

$$\begin{gathered} \Delta W_i\approx F({\xi }_i,{\eta }_i)(M_{i-1}{M}_i{)}^{-}(弧长足够小的时候，近似为一段线段) \\ =P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i(向量点乘运算) \end{gathered}$$
所以：
$$W=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i]$$

一.定义

我们把上面的在有向弧线段上对坐标x，y的曲线积分（第二型曲面积分），记作：
$$\begin{gathered} {\int }_{L}P(x,y)=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}p({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i \\ {\int }_{L}Q(x,y)=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}p({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i \end{gathered}$$
其中P(x,y),Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段。

同样的，可以推广到空间曲线：
$$\begin{gathered} {\int }_{R}P(x,y,z)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta x_i \\ {\int }_{R}Q(x,y,z)dy=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta y_i \\ {\int }_{R}R(x,y,z)dz=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta z_i \end{gathered}$$

二.性质（老三样）

但是注意，第二型曲线积分还有一个额外的性质——***有向性***

三.计算方式（同第一型）

∫ R P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β { P [ ϕ ( t ) + ψ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) + ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) } d t int_RP(x,y)dx+Q(x,y)dy=int_{alpha}^{beta}{P[phi(t)+psi(t)]phi'(t)+Q[phi(t)+psi(t)]psi'(t)}dt ∫R​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ​{P[ϕ(t)+ψ(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t)+ψ(t)]ψ′(t)}dt

注意：有向性

四.两类曲线积分之间的联系

​ 其实抛开那些复杂的推导公式，我回想一下我们之前的两种类型的曲线积分的引入：一个是没有方向的质量，一个是有方向的功；再回想一下，第二型曲线积分的积分变量是dx，dy，第一型的是ds，那么就可以这样想，第二型曲线积分其实就是，对第一型曲线积分在x，y，z。。。轴上的一种分量积分。
$$\begin{gathered} {\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_L(Pcos\alpha +Qcos\beta )ds \\ (cos\alpha 、cos\beta 是曲线L上任意一点所对应的切向量在x、y轴上的方向余弦) \end{gathered}$$
其中：
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{c}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array} \\ cos\alpha =\frac{{\varphi }^{\prime }(t)}{\sqrt{{\varphi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2}} \\ cos\beta =\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{\sqrt{{\varphi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2}} \end{gathered}$$

第三节 格林公式

一.格林公式

1.单复连通区域

平面单连通区域：设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，那么我们称之为平面单连通区域。

​ 与上面情况相反的，则称之为平面复连通区域。

2.单复连同区域的正向规定

单连通区域的边界曲线的正向：逆时针方向。

复联通区域的边界区域的正向：外逆内顺。

3.格林公式

定理1

设闭区间D由分段光滑曲线L所围成，P（x，y）、Q（x，y）在D上有一阶连续偏导函数，则：
$${\iint }_D(\frac{\delta Q}{\delta x}-\frac{\delta P}{\delta y})dxdy={\int }_{L}Pdx+Qdy$$
证明：

首先，D我们可以确定为：
$$\{\begin{array}{c}a\le x\le b\\ {\varphi }_1(x)\le y\le {\varphi }_2(x)\end{array}$$
那么先表示格林公式左式:
∬ D δ P δ y d x d y − ∬ D δ Q δ x d x d y = ∫ a b { ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) δ P ( x , y ) δ y d y } d x − ∫ a b { ∫ ψ 1 ( x ) ψ 2 ( x ) δ Q ( x , y ) δ x d x } d y （ P 对 x 求 偏 导 ， 再 对 自 己 求 关 于 x 的 定 积 分 ， 就 相 当 于 P ∗ 积 分 区 间 的 跨 度 ） iint_Dfrac{delta P}{delta y}dxdy-iint_Dfrac{delta Q}{delta x}dxdy=\ int_{a}^{b}{int_{phi_1{(x)}}^{phi_2{(x)}}frac{delta P(x,y)}{delta y}dy}dx- int_{a}^{b}{int_{psi_1{(x)}}^{psi_2{(x)}}frac{delta Q(x,y)}{delta x}dx}dy\ （P对x求偏导，再对自己求关于x的定积分，就相当于P*积分区间的跨度） ∬D​δyδP​dxdy−∬D​δxδQ​dxdy=∫ab​{∫ϕ1​(x)ϕ2​(x)​δyδP(x,y)​dy}dx−∫ab​{∫ψ1​(x)ψ2​(x)​δxδQ(x,y)​dx}dy（P对x求偏导，再对自己求关于x的定积分，就相当于P∗积分区间的跨度）
那么：
上 式 子 = ∫ a b { P [ x , ϕ 2 ( x ) ] − P [ x , ϕ 1 ( x ) ] } d x − ∫ a b { P [ ψ 2 ( y ) , y ] − P [ ψ 1 ( y ) , y ] } d y 上式子=int_a^b{P[x,phi_2(x)]-P[x,phi_1(x)]}dx-int_a^b{P[psi_2(y),y]-P[psi_1(y),y]}dy\ 上式子=∫ab​{P[x,ϕ2​(x)]−P[x,ϕ1​(x)]}dx−∫ab​{P[ψ2​(y),y]−P[ψ1​(y),y]}dy
这时，我们发现——“咦，这上面不就是第一型曲线积分的形式吗？”

所以,就把上下界对应的曲线记作L1、L2，那么
$$\begin{gathered} 上式子={\int }_{L_1}Qdy+{\int }_{L_2}Qdy+{\int }_{L_1}Pdx+{\int }_{L_2}Pdx \\ ={\int }_{L}Qdy+{\int }_{L}Pdx \\ ={\int }_{L}Qdy+Pdx \end{gathered}$$
故有：
$${\iint }_D\frac{\delta P}{\delta y}-\frac{\delta Q}{\delta x}dxdy={\int }_{L}Qdy+Pdx$$

推论:正向闭曲线L所围成区域D的面积为：
$$A=\frac{1}{2}{\int }_{L}xdy-ydx$$
解释一下：

这其实是一个构造，要求S_D，那么
$$\frac{\delta P}{\delta y}-\frac{\delta Q}{\delta x}=1$$
构造一下：P=2y,Q=x

4.注意事项

1. 格林公式只能用于封闭区域
2. 格林公式要严格遵循正向的规定

二.曲线积分与路径无关的条件

1.要求

曲线积分与路径无关的定义：不管走哪一条积分区域（曲线），曲线积分结果结果都一样。

2.条件

$$\frac{\delta P}{\delta y}=\frac{\delta Q}{\delta x}$$

3.定理

设G是一个区域，P，Q在G内具有一阶连续偏导数，那么一下四个条件等价：

1. 对G中任意光滑闭曲线L，有
   $${\int }_{L}Pdx+Qdy=0$$

2. 对于G中任意分段光滑曲线L，曲线积分
   $${\int }_{L}Pdx+Qdy$$
   与路径无关，只与起始点有关

3. Pdx+Qdy在G内是某一函数u(x,y)的全微分，即du(x,y)=Pdx+Qdy

4. 在G内每一个点都有
   $$\frac{\delta P}{\delta y}=\frac{\delta Q}{\delta x}$$

第四节 第一型曲面积分

引入:若我们已知一个空间曲面的部件的面密度与其部件上每一点的空间位置的函数:
$$\rho =\rho (x,y,z)$$
要求质量——“老四样”
$$M=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\rho ({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k){\Delta }_k$$

一.定义

那么我们记：
$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\rho ({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k){\Delta }_k$$
其中f(x,y,z)为被积函数，Sigma为积分曲面

曲面面积为：
$$S={\iint }_{\Sigma }dS$$

二.性质——老三样

三.计算——要用到二重积分的一个推论：曲面的计算

定义：设光滑曲面方程：
$$z=z(x,y)(x,y)\in D_{xy}$$
其中D_xy为曲面在xOy面上的投影区域，若函数f（x，y，z）在积分曲面上连续，则
$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$$
存在，且
$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}dxdy$$

第五节 第二型曲面积分

思考：我们想一下之前的第二型曲线积分：它是一种二维的向量的表现形式。举个例子，有一个物体收到一个变力f（x，y）的作用沿着曲线做功，我们的处理方式就是将f（x，y）分为x方向变量p（x，y）和y方向变量q（x，y），那么
$$F(x,y)=P(x,y)i^{-}+Q(x,y)j^{-}$$
这是一种二维的问题。如果我们上升到三维空间呢？也就是把这个变力放到三维空间中去：
$$F(x,y,z)=P(x,y,z)i^{-}+Q(x,y,z)j^{-}+R(x,y,z)z^{-}$$
现在我们引出一个空间流量问题：

设空间正柱体流体的底面积为A，流速与空间位置的关系为（密度为单位密度）：
$$v(x,y,z)=P(x,y,z)i^{-}+Q(x,y,z)j^{-}+R(x,y,z)z^{-}$$
求流量：

根据：
$$C=\rho Sv=Sv$$
所以每个微元的流量表达式：
$$C_i=A|v{|}_{i}cos{\theta }_i=A{v}_i^{-}{n}_i^{-}$$
其中
$$\begin{gathered} v_i=v({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)=P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)i^{-}+Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)j^{-}+R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)k^{-} \\ {n}^{-}=cos{\alpha }_i{i}^{-}+cos{\beta }_i{j}^{-}+cos{\gamma }_i{z}^{-} \end{gathered}$$
然后通过“老四样”可以得到所求流量：
$$\Phi =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n(P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)cos{\alpha }_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)cos{\beta }_i+R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)cos{\gamma }_i)\Delta S_i$$

一.定义

我们将上面所求到的累加式记作：
$$\{\begin{array}{c}{\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)dydz={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{yz}\\ {\iint }_{\Sigma }Q(x,y,z)dzdx={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{xz}\\ {\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{xy}\end{array}$$
分别将上面三个式子称作：P(x,y,z)在有向曲线Sigma上对面yOz的曲面积分

​ Q(x,y,z)在有向曲线Sigma上对面xOz的曲面积分

​ R(x,y,z)在有向曲线Sigma上对xOy的曲面积分

二.曲面分类

$$\{\begin{array}{c}双侧曲面(有上下左右前后面之分)\\ \\ 单侧曲面(没有上下左右前后面之分)\end{array}$$

三.性质——老三样（同第二型曲线积分）

四.计算法

$$\{\begin{array}{c}{\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)dydz=\pm {\iint }_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)dydz\\ {\iint }_{\Sigma }Q(x,y,z)dzdx=\pm {\iint }_{D_{zx}}Q(x,y(x,z),z)dzdx\\ {\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\end{array}$$

注意：要看积分曲面取的面的类型（根据上表）

五.两类曲线积分之间的联系（类似于曲线积分）

曲线积分是“线—线的分量”的形式；曲面积分就是“面—面的分量”的形式：
$$dxdy=dScos\gamma$$
所以：
$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(Pcos\alpha +Q\cos \beta +Rcos\gamma )dS$$

第六、七节 高斯公式 斯托克斯公式 积分的简便运算技巧

一.高斯公式——格林公式在三维空间的推广

第二型曲面积分——三重积分

同样的，类似于曲线积分中的积分与路径无关规律：

二.斯托克斯公式

第二型曲面积分——第二型曲线积分

右手定则：右手四指依绕着曲线得绕行方向时，拇指的方向与曲面上法向量方向相同，这是我们称这个曲线为曲面的正向边界曲线。

记忆技巧：

或者：

空间曲线积分与路径无关条件：

三.积分的简便运算技巧

1.技巧1——偶倍奇零，奇倍偶零

1. 对于定积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第一型曲面积分（非二型积分）；若积分区域关于某个变量对称，并且被积函数也是关于这个变量的奇函数（偶函数），则满足偶倍奇零。
2. 对于第二型曲线积分，第二型曲面积分（二型积分）；若积分区域关于某个变量对称，并且被积函数也是关于这个变量的奇函数（偶函数），则满足奇倍偶零。

2.技巧2——利用质心（用得不多）

对于一些比较规则的积分区域，我们一般很容易能够判断出他们的质心所在位置，那么根据执行公式，我们就可以得到一些数量关系，从而方便计算。

最后

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